Волновая функция квантовой системы определяется как. Волновая функция

· Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая запутанность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект

Эксперименты
Опыт Дэвиссона - Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна - Герлаха · Опыт Юнга · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона

Формулировки
Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана

Уравнения
Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна - Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение Швингера - Томонаги · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга

Интерпретации
Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая · Теория де Бройля - Бома

Развитие теории
Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу - Вайнберга - Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация

Известные учёные
Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

См. также: Портал:Физика

Волнова́я фу́нкция , или пси-фу́нкция $\psi$ - комплекснозначная функция , используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы . Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису (обычно координатному):

$\left|\psi(t)\right\rangle=\int \Psi(x,t)\left|x\right\rangle dx$

где $\left|x\right\rangle = \left|x_1, x_2, \ldots , x_n\right\rangle$ - координатный базисный вектор, а $\Psi(x,t)= \langle x\left|\psi(t)\right\rangle$ - волновая функция в координатном представлении .

Нормированность волновой функции

Волновая функция $\Psi$ по своему смыслу должна удовлетворять так называемому условию нормировки, например, в координатном представлении имеющему вид:

${\int\limits_{V}{\Psi^\ast\Psi}dV}=1$

Это условие выражает тот факт, что вероятность обнаружить частицу с данной волновой функцией где-либо в пространстве равна единице. В общем случае интегрирование должно производиться по всем переменным, от которых зависит волновая функция в данном представлении.

Принцип суперпозиции квантовых состояний

Для волновых функций справедлив принцип суперпозиции , заключающийся в том, что если система может пребывать в состояниях, описываемых волновыми функциями $\Psi_1$ и $\Psi_2$ , то она может пребывать и в состоянии, описываемом волновой функцией

$\Psi_\Sigma = c_1 \Psi_1 + c_2 \Psi_2$ при любых комплексных $c_1$ и $c_2$ .

Очевидно, что можно говорить и о суперпозиции (наложении) любого числа квантовых состояний, то есть о существовании квантового состояния системы, которое описывается волновой функцией $\Psi_\Sigma = c_1 \Psi_1 + c_2 \Psi_2 + \ldots + {c}_N{\Psi}_N=\sum_{n=1}^{N} {c}_n{\Psi}_n$ .

В таком состоянии квадрат модуля коэффициента ${c}_n$ определяет вероятность того, что при измерении система будет обнаружена в состоянии, описываемом волновой функцией ${\Psi}_n$ .

Поэтому для нормированных волновых функций $\sum_{n=1}^{N}\left|c_{n}\right|^2=1$ .

Условия регулярности волновой функции

Вероятностный смысл волновой функции накладывает определенные ограничения, или условия, на волновые функции в задачах квантовой механики. Эти стандартные условия часто называют условиями регулярности волновой функции.

Условие конечности волновой функции. Волновая функция не может принимать бесконечных значений, таких, что интеграл $(1)$ станет расходящимся. Следовательно, это условие требует, чтобы волновая функция была квадратично интегрируемой функцией, т.е принадлежала гильбертовому пространству $L^2$ . В частности, в задачах с нормированной волновой функцией квадрат модуля волновой функции должен стремиться к нулю на бесконечности.
Условие однозначности волновой функции. Волновая функция должна быть однозначной функцией координат и времени, так как плотность вероятности обнаружения частицы должна определяться в каждой задаче однозначно. В задачах с использованием цилиндрической или сферической системы координат условие однозначности приводит к периодичности волновых функций по угловым переменным.
Условие непрерывности волновой функции. В любой момент времени волновая функция должна быть непрерывной функцией пространственных координат. Кроме того, непрерывными должны быть также частные производные волновой функции $\frac{\partial \Psi}{\partial x}$ , $\frac{\partial \Psi}{\partial y}$ , $\frac{\partial \Psi}{\partial z}$ . Эти частные производные функций лишь в редких случаях задач с идеализированными силовыми полями могут терпеть разрыв в тех точках пространства, где потенциальная энергия, описывающая силовое поле, в котором движется частица, испытывает разрыв второго рода .

Волновая функция в различных представлениях

Набор координат, которые выступают в роли аргументов функции , представляет собой полную систему коммутирующих наблюдаемых . В квантовой механике возможно выбрать несколько полных наборов наблюдаемых, поэтому волновая функция одного и того же состояния может быть записана от разных аргументов. Выбранный для записи волновой функции полный набор величин определяет представление волновой функции . Так, возможны координатное представление, импульсное представление, в квантовой теории поля используется вторичное квантование и представление чисел заполнения или представление Фока и др.

Если волновая функция, например, электрона в атоме, задана в координатном представлении , то квадрат модуля волновой функции представляет собой плотность вероятности обнаружить электрон в той или иной точке пространства. Если эта же волновая функция задана в импульсном представлении , то квадрат её модуля представляет собой плотность вероятности обнаружить тот или иной импульс .

Матричная и векторная формулировки

Волновая функция одного и того же состояния в различных представлениях - будет соответствовать выражению одного и того же вектора в разных системах координат. Остальные операции с волновыми функциями так же будут иметь аналоги на языке векторов. В волновой механике используется представление, где аргументами пси-функции является полная система непрерывных коммутирующих наблюдаемых, а в матричной используется представление, где аргументами пси-функции является полная система дискретных коммутирующих наблюдаемых. Поэтому функциональная (волновая) и матричная формулировки очевидно математически эквивалентны.

Философский смысл волновой функции

Волновая функция представляет собой метод описания чистого состояния квантовомеханической системы. Смешанные квантовые состояния (в квантовой статистике) следует описывать оператором типа матрицы плотности . То есть, некая обобщённая функция от двух аргументов должна описать корреляцию нахождения частицы в двух точках.

Следует понимать, что проблема, которую решает квантовая механика, - это проблема самой сути научного метода познания мира.

См. также

Напишите отзыв о статье "Волновая функция"

Литература

Физический энциклопедический словарь / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. - М.: Сов. Энциклопедия, 1984. - 944 с.

Ссылки

Квантовая механика - статья из Большой советской энциклопедии .

Письмо это еще не было подано государю, когда Барклай за обедом передал Болконскому, что государю лично угодно видеть князя Андрея, для того чтобы расспросить его о Турции, и что князь Андрей имеет явиться в квартиру Бенигсена в шесть часов вечера.
В этот же день в квартире государя было получено известие о новом движении Наполеона, могущем быть опасным для армии, – известие, впоследствии оказавшееся несправедливым. И в это же утро полковник Мишо, объезжая с государем дрисские укрепления, доказывал государю, что укрепленный лагерь этот, устроенный Пфулем и считавшийся до сих пор chef d"?uvr"ом тактики, долженствующим погубить Наполеона, – что лагерь этот есть бессмыслица и погибель русской армии.
Князь Андрей приехал в квартиру генерала Бенигсена, занимавшего небольшой помещичий дом на самом берегу реки. Ни Бенигсена, ни государя не было там, но Чернышев, флигель адъютант государя, принял Болконского и объявил ему, что государь поехал с генералом Бенигсеном и с маркизом Паулучи другой раз в нынешний день для объезда укреплений Дрисского лагеря, в удобности которого начинали сильно сомневаться.
Чернышев сидел с книгой французского романа у окна первой комнаты. Комната эта, вероятно, была прежде залой; в ней еще стоял орган, на который навалены были какие то ковры, и в одном углу стояла складная кровать адъютанта Бенигсена. Этот адъютант был тут. Он, видно, замученный пирушкой или делом, сидел на свернутой постеле и дремал. Из залы вели две двери: одна прямо в бывшую гостиную, другая направо в кабинет. Из первой двери слышались голоса разговаривающих по немецки и изредка по французски. Там, в бывшей гостиной, были собраны, по желанию государя, не военный совет (государь любил неопределенность), но некоторые лица, которых мнение о предстоящих затруднениях он желал знать. Это не был военный совет, но как бы совет избранных для уяснения некоторых вопросов лично для государя. На этот полусовет были приглашены: шведский генерал Армфельд, генерал адъютант Вольцоген, Винцингероде, которого Наполеон называл беглым французским подданным, Мишо, Толь, вовсе не военный человек – граф Штейн и, наконец, сам Пфуль, который, как слышал князь Андрей, был la cheville ouvriere [основою] всего дела. Князь Андрей имел случай хорошо рассмотреть его, так как Пфуль вскоре после него приехал и прошел в гостиную, остановившись на минуту поговорить с Чернышевым.
Пфуль с первого взгляда, в своем русском генеральском дурно сшитом мундире, который нескладно, как на наряженном, сидел на нем, показался князю Андрею как будто знакомым, хотя он никогда не видал его. В нем был и Вейротер, и Мак, и Шмидт, и много других немецких теоретиков генералов, которых князю Андрею удалось видеть в 1805 м году; но он был типичнее всех их. Такого немца теоретика, соединявшего в себе все, что было в тех немцах, еще никогда не видал князь Андрей.
Пфуль был невысок ростом, очень худ, но ширококост, грубого, здорового сложения, с широким тазом и костлявыми лопатками. Лицо у него было очень морщинисто, с глубоко вставленными глазами. Волоса его спереди у висков, очевидно, торопливо были приглажены щеткой, сзади наивно торчали кисточками. Он, беспокойно и сердито оглядываясь, вошел в комнату, как будто он всего боялся в большой комнате, куда он вошел. Он, неловким движением придерживая шпагу, обратился к Чернышеву, спрашивая по немецки, где государь. Ему, видно, как можно скорее хотелось пройти комнаты, окончить поклоны и приветствия и сесть за дело перед картой, где он чувствовал себя на месте. Он поспешно кивал головой на слова Чернышева и иронически улыбался, слушая его слова о том, что государь осматривает укрепления, которые он, сам Пфуль, заложил по своей теории. Он что то басисто и круто, как говорят самоуверенные немцы, проворчал про себя: Dummkopf… или: zu Grunde die ganze Geschichte… или: s"wird was gescheites d"raus werden… [глупости… к черту все дело… (нем.) ] Князь Андрей не расслышал и хотел пройти, но Чернышев познакомил князя Андрея с Пфулем, заметив, что князь Андрей приехал из Турции, где так счастливо кончена война. Пфуль чуть взглянул не столько на князя Андрея, сколько через него, и проговорил смеясь: «Da muss ein schoner taktischcr Krieg gewesen sein». [«То то, должно быть, правильно тактическая была война.» (нем.) ] – И, засмеявшись презрительно, прошел в комнату, из которой слышались голоса.
Видно, Пфуль, уже всегда готовый на ироническое раздражение, нынче был особенно возбужден тем, что осмелились без него осматривать его лагерь и судить о нем. Князь Андрей по одному короткому этому свиданию с Пфулем благодаря своим аустерлицким воспоминаниям составил себе ясную характеристику этого человека. Пфуль был один из тех безнадежно, неизменно, до мученичества самоуверенных людей, которыми только бывают немцы, и именно потому, что только немцы бывают самоуверенными на основании отвлеченной идеи – науки, то есть мнимого знания совершенной истины. Француз бывает самоуверен потому, что он почитает себя лично, как умом, так и телом, непреодолимо обворожительным как для мужчин, так и для женщин. Англичанин самоуверен на том основании, что он есть гражданин благоустроеннейшего в мире государства, и потому, как англичанин, знает всегда, что ему делать нужно, и знает, что все, что он делает как англичанин, несомненно хорошо. Итальянец самоуверен потому, что он взволнован и забывает легко и себя и других. Русский самоуверен именно потому, что он ничего не знает и знать не хочет, потому что не верит, чтобы можно было вполне знать что нибудь. Немец самоуверен хуже всех, и тверже всех, и противнее всех, потому что он воображает, что знает истину, науку, которую он сам выдумал, но которая для него есть абсолютная истина. Таков, очевидно, был Пфуль. У него была наука – теория облического движения, выведенная им из истории войн Фридриха Великого, и все, что встречалось ему в новейшей истории войн Фридриха Великого, и все, что встречалось ему в новейшей военной истории, казалось ему бессмыслицей, варварством, безобразным столкновением, в котором с обеих сторон было сделано столько ошибок, что войны эти не могли быть названы войнами: они не подходили под теорию и не могли служить предметом науки.
В 1806 м году Пфуль был одним из составителей плана войны, кончившейся Иеной и Ауерштетом; но в исходе этой войны он не видел ни малейшего доказательства неправильности своей теории. Напротив, сделанные отступления от его теории, по его понятиям, были единственной причиной всей неудачи, и он с свойственной ему радостной иронией говорил: «Ich sagte ja, daji die ganze Geschichte zum Teufel gehen wird». [Ведь я же говорил, что все дело пойдет к черту (нем.) ] Пфуль был один из тех теоретиков, которые так любят свою теорию, что забывают цель теории – приложение ее к практике; он в любви к теории ненавидел всякую практику и знать ее не хотел. Он даже радовался неуспеху, потому что неуспех, происходивший от отступления в практике от теории, доказывал ему только справедливость его теории.
Он сказал несколько слов с князем Андреем и Чернышевым о настоящей войне с выражением человека, который знает вперед, что все будет скверно и что даже не недоволен этим. Торчавшие на затылке непричесанные кисточки волос и торопливо прилизанные височки особенно красноречиво подтверждали это.
Он прошел в другую комнату, и оттуда тотчас же послышались басистые и ворчливые звуки его голоса.

Не успел князь Андрей проводить глазами Пфуля, как в комнату поспешно вошел граф Бенигсен и, кивнув головой Болконскому, не останавливаясь, прошел в кабинет, отдавая какие то приказания своему адъютанту. Государь ехал за ним, и Бенигсен поспешил вперед, чтобы приготовить кое что и успеть встретить государя. Чернышев и князь Андрей вышли на крыльцо. Государь с усталым видом слезал с лошади. Маркиз Паулучи что то говорил государю. Государь, склонив голову налево, с недовольным видом слушал Паулучи, говорившего с особенным жаром. Государь тронулся вперед, видимо, желая окончить разговор, но раскрасневшийся, взволнованный итальянец, забывая приличия, шел за ним, продолжая говорить:
– Quant a celui qui a conseille ce camp, le camp de Drissa, [Что же касается того, кто присоветовал Дрисский лагерь,] – говорил Паулучи, в то время как государь, входя на ступеньки и заметив князя Андрея, вглядывался в незнакомое ему лицо.

Переформулировка квантовой механики

1. Суть проблемы

Свое знаменитое уравнение Шрединберг не выводил, он его угадал:

Масса частицы;

Мнимая единица;

Квантовая постоянная;

Энергия поля;

Шредингеровская волновая комплексная функция (амплитуда волн де Бройля).

Физический смысл волновой функции, вернее, квадрата ее модуля был установлен в соответствии с копенгагенской трактовкой, как плотность вероятности волновой функции. Вероятность обнаружить частицу в заданной точке в заданное время равна нулю, поэтому и говорят не о вероятности, а о плотности вероятности.

Здесь нет никакой натяжки. Ситуация вполне реальная, например, вероятность падения шара в выбранную на его поверхности точку равна нулю, но шар обязательно упадет в какую-либо точку.

Вероятность обнаружить частицу в заданном объеме пространства в момент времени в копенгаганской трактовке:

(2)

Основоположникам статистической физики не приходило в голову представлять молекулу или атом в виде размытого облака по всему объему сосуда. Не очень их волновало и то, что в статистической физике пришлось распрощаться с понятием «траектория частицы». Случайность в микромире воспринималась Максвеллом, Больцманом и Гиббсом как вполне объективная закономерность. Ведь на самом деле траектории прдолжали существовать.

Вполне закономерно поэтому, что против предложенной Борном статистической трактовки волновой функции выступали Щредингер, де Бройль, Эйнштейн и другие менее известные физики..

Суть проблемы сводилась к выяснению вопроса о том, действительно ли электрон и другие элементарные частицы являются неделимыми, и тогда волновая функция не имеет физического смысла, или электрон и другие элементарные частицы не являются первокирпичиками материи, а состоят из более мелких, действительно фундаментальных частиц. В этом случае волновая функция приобретала реальный физический смысл: в механике – это амплитуда колебаний материальных частиц, а в электродинамике – амплитуда колебаний частиц, составляющих заряд электрона. Правда, в последнем случае требовалось каким - то образом объяснить, почему электрон не разлетается под действием сил кулоновского отталкивания.

2. Абсолютная система измерения физических величин

С помощью абсолютной системы измерения физических величин была установлена размерность волновой функции.

В основу построения абсолютной системы измерения физических величин положена формула:

Где и - единицы измерения времени и расстояния в системе СИ.

Формула (3) является следствием более глубокой теории строения материи, рассмотрение которой выходит за рамки рассматриваемой проблемы переформулировки квантовой механики. Отметим лишь, что формула (3) отражает диалектическое единство и противоположность пространства и времени.

В абсолютной системе измерения физических величин можно все величины выразить либо в метрах, либо в секундах. Например, чтобы выразить все величины в метрах, надо в формулу равномерного движения

Подставить размерности , . В результате получаем размерность скорости в абсолютной системе измерения физических величин:

Подбирая физические формулы таким образом, чтобы в них входила лишь одна физическая величина неизвестной размерности, можно вычислить размерности всех физических величин в абсолютной системе единиц измерения.

Так, например, размерность имеют: длина, частота, угловая скорость, градиент скорости, объемный расход, электрический заряд, поток электрического смещения, напряженность магнитного поля, абсолютная магнитная проницаемость, температура, и т. д.

Размерность имеют: площадь, угловое ускорение, скорость, масса, удельный вес, динамическая вязкость, индуктивность, магнитная проводимость, и т. д.

Размерность имеют: объем, ускорение, объемная плотность энергии, давление, кинематическая вязкость, напряженность гравитационного поля, Коэффициент диффузии , электрическое сопротивление, удельная теплоемкость, газовая постоянная, и т. д.

Размерность имеют: импульс, поверхностное натяжение, плотность потока энергии, момент инерции, потенциал гравитационного поля, напряженность электрического поля, удельное электрическое сопротивление, магнитный поток, магнитный момент контура с током, удельное количество теплоты, и т. д.

Размерность имеют: сила, постоянная планка, момент импульса, действие, электрическое напряжение, теплопроводность, и т. д.

Размерность имеют: энергия, работа, момент силы, количество теплоты, и т. д.

Размерность имеет сила.

Размерность имеет плоский и телесный угол.

Из формулы (3) следует, что , что позволяет вывести следующие соотношения:

(6)

(8),

Физическая величина, имеющая размерность в абсолютной системе измерения физических величин.

3. Размерность волновой функции

Теперь мы можем определить размерность волновой функции в уравнении Шредингера (1). Первый член уравнения

И сомножитель имеют одинаковую размерность, поэтому

(9)

Разделив обе части (9) на имеем:

(10)

Уравнение (10) справедливо только при

Итак, вопреки утверждениям Борна, абсолютная система измерения физических величин позволила нам установить размерность волновой функции в абсолютной системе измерения физических величин. Но такую размерность имеют механические метры, постоянная Планка, электрические кулоны и термодинамическая температура. Значит, уравнения механики, квантовой механики, электродинамики и термодинамики – инвариантны.

Но почему копенгагенская интерпретация запрещает придавать волновой функции физический смысл? Все дело в том, что в уравнении (2) Борн приравнял к нулю квадрат модуля волновой функции в предположении что размерность волновой функции равна и этим самым наложил запрет на наделение волновой функции какими - либо физическими свойствами.

На самом деле, как это следует из абсолютной системы измерения физических величин, волновую функцию можно выразить как через пространственные, так и через временные координаты и безразмерную величину имеет лишь произведение этих функций:

Функция комплексно сопряжена с .

Правильный результат в копенгагенской интерпретации волновой функции в формуле (2) обеспечивается только в случае независимости пространства от времени . Требование независимости переменных – это требование теории вероятности. Второе условие, неявно накладываемое формулой (2) – условие неизменности размерности волновой функции.

Теория относительности выявила взаимозависимость пространства и времени, а это означает, что формулой (2) можно пользоваться только при скоростях движения систем, значительно меньших скорости света.

При наблюдении за объектом из трехмерного пространства (см. Рис.) и квадрат выглядит квадратом с размерностью . Если начать разгонять квадрат параллельно его плоскости, то длина одной из сторон, согласно СТО начнет сокращаться и при квадрат превратится в отрезок с размерностью . Этому соответствует точка на рисунке, а точке соответствует вся копенгагенская трактовка волновой функции, когда , а

Таким образом, борновское истолкование волновой функции есть лишь частный случай ее более широкого истолкования в переформулированной с точки зрения абсолютной системы измерения физических величин квантовой механики.

Чтобы понять истинный физический смысл волновой функции, нам придется переосмыслить само понятие движения.

4. Что такое движение?

Физика столкнулась с квантами энергии, но в случае электрона она не вышла на кванты электрических зарядов и кванты массы.

Переформулировка квантовой механики на основе абсолютной системы измерения физических величин позволяет вернуться к классическому вероятностному описанию электрона и других элементарных частиц методами статистической механики для большого числа составляющих электрон действительно фундаментальных частиц.

Действительно квантовые эффекты проявляются при описании распространения света.

Наше трехмерное пространство – квантованное, поэтому в нем парадоксы Зенона не действуют и возможно применение двузначной логики. Но во Вселенной есть безразмерное пространство нулевого числа измерений, отождествляемое в физике с энергией или временем. Это пространство не квантованное, в нем действуют парадоксы Зенона и к нему не применима аристотелевская двузначная логика. Похоже на то, что научное знание имеет границы своей применимости и эти границы начинаются там же, где начинается пространство нулевого числа измерений.

В апориях «дихотомия» и «Ахиллес» Зенон придерживается аксиомы непрерывности пространства и времени в смысле их актуальной абстрактной бесконечности. Без допущения этой аксиомы обе апории разрушаются.

В апориях «стрела» и «стадий» Зенон придерживается аксиомы дискретности пространства и времени. Апории рушатся, если из гипотезы движения убрать аксиомы дискретности.

Попытки опровергателей Зенона представить дело так, будто апории «стрела» и «стадий» не имеют смысла и поставить их в укор философу, не выдерживают никакой критики. Напротив, заслуга Зенона в том и состоит, что он поставил вопрос, который на протяжении двух с половиной тысячелетий пытаются бездарно похоронить опровергатели всех мастей видимостью своих псевдоответов.

Гёдель своей теоремой о том, что в любой непротиворечивой теории имеется недостаточное количество аксиом, а полный набор аксиом приводит к противоречивой теории, внес существенный вклад если и не в разрешение, то в разъяснение сути парадоксов Зенона. По Гёделю полная теория движения должна включать в себя противоречивые гипотезы дискретного и непрерывного пространства и времени.

Мы можем утверждать, что суть парадоксов Зенона не в изъянах его логики, а в противоречивости самого движения. Мы очень мало знаем о самом движении. Наука считает движением нахождение в разные моменты времени в разных местах. Понятие о движении у нас менее критично, чем у элеатов, мы называем движением то, что элеаты движением никогда бы не назвали.

В нашем понимании движется одно и то же тело. Галилей трактовал движение как совокупность «продвинутостей», то есть таким же, каким его описал Зенон в апории «стрела». И наука дальше такого понимания движения не шла. По крайней мере до появления на свет квантовой механики

В дискретной модели движения объект даже не прыгает из точки в точку, а исчезает из одной точки пространства и появляется в другой. Это даже не один и тот же объект, а два разных объекта. В противном случае мы приходим к гипотезе непрерывности пространства и времени.

Современная квантовая физика отошла от модельного представления физических процессов. Считается например, что корпускулярно-волновой дуализм невозможно представить в виде какой-нибудь модели. Физик В. А. Фок (1898-1974) дал такую трактовку корпускулярно-волнового дуализма: “Можно сказать, что для атомного объекта существует потенциальная возможность проявлять себя, в зависимости от внешних условий, либо как волна, либо как частица, либо промежуточным образом. Именно в этой потенциальной возможности различных проявлений свойств, присущих микрообъекту, и состоит дуализм волна - частица. Всякое иное, более буквальное, понимание этого дуализма в виде какой-нибудь модели неправильно.”

Полная геометризация физики на основе абсолютной системы измерения физических величин напрочь опровергает подобную точку зрения. Возможно построение геометрических моделей любых физических процессов. Для микромира нет своих, специальных законов. Природа едина и законы природы едины.

4. Квантовая теория относительности

Многочисленные попытки ввести в рамках специальной теории относительности фундаментальную длину, чтобы построить свободную от расходимостей теорию, показывают, что это неизбежно приводит к нарушению принципа причинности. Для того, чтобы совместить теорию относительности с квантовой механикой, нужно проквантовать само пространство и время.

Отправной точкой в построении квантовой теории относительности служит принцип неопределенностей Гейзенберга. Самый известный спор о принципе неопределенностей произошел на пятом Сольвеевском международном конгрессе ученых в 1927 году в Брюсселе. и Нильс Бор. Спорили о том, вероятностна ли в основе своей Вселенная. По легенде, именно на этом конгрессе Эйнштейн произнес свое знаменитое «Бог в кости не играет»

Через два года после конгресса, основательно обдумав создавшееся положение, Эйнштейн, совместно с Подольским и Розеном, предлагает мысленный эксперимент, по его мнению, напрочь опровергающий реальность существования волновой функции, квадрат модуля которой, как известно, определяет вероятность нахождения электрона в точке x, y, z трехмерного пространства.

Суть эксперимента состоит в следующем. Пусть система состоит из двух электронов и пусть в какой-то момент времени электроны находятся на большом (известном) расстоянии друг от друга. Пусть также электроны обладают известным суммарным импульсом. Если измерить импульс первого электрона, то импульс второго электрона можно найти немедленно, ведь сумма импульсов известна. С другой стороны, если кто-нибудь измерил положение первого электрона, то мгновенно становится известным и положение второго. Это означает, что, наблюдая состояние первого электрона, мы можем мгновенно изменить волновую функцию так, что второй электрон станет занимать определенное положение и обладать определенным импульсом, несмотря на то, что мы к нему и близко не подходили.

Интересно, что подобный эксперимент был, в конце концов, проведен и показал, что все происходит именно так, как описал Эйнштейн, и что волновая функция изменяется практически мгновенно. Один из экспериментов проводился в 2008 году на фотонах, находящихся в определенном «спутанном состоянии». Ученые университета Женевы разделяли пары спутанных фотонов и отправляли их по оптическому волокну на два детектора, находящиеся в противоположных направлениях на расстоянии 9 километров от излучателя. Детекторы на входе и выходе определяли «цвета» фотонов (их волновые характеристики). Измерения повторялись неоднократно в течение 12 часов. Оказалось, что физические свойства фотонов менялись одинаково и синхронно. Если один фотон становился «красным», то второй – тоже. Не удалось засечь время запаздывания, но в пределах точности аппаратуры можно было утверждать, что волновая функция изменялась со скоростью, превосходящей скорость света не менее чем в 10000 раз. Обе частицы как бы следуют сигналу внешнего «регулировщика движения».

Ни одна физическая теория дать удовлетворительного объяснения результатов экспериментов не смогла. Ведь если в природе существуют явления, при которых скорость передачи взаимодействий бесконечно велика, то тела могут действовать друг на друга на расстоянии и при отсутствии материи между ними. Такое воздействие тел друг на друга в физике называют дальнодействием. Когда же тела действуют друг на друга с помощью материи, находящейся между ними, то их взаимодействие называется близкодействием.

У многих физиков нет привычки говорить «не знаю», когда проблема не решается доступными им средствами, поэтому неоднократно заявлялось, что парадокс Эйнштейна, Подольского и Розена разрешен, но всякий раз оказывалось, что это не так.

По существу проблема сводится все к тем же парадоксам Зенона и требует для своего разрешения принятия одного из двух постулатов: либо пространство и время дискретны (позиция Бора), либо пространство и время непрерывны (позиция Эйнштейна). Ошибочность позиции Бора состоит в том, что признавая дискретность трехмерного пространства и времени, он допускает бесконечную скорость передачи взаимодействий в нем.

Для передачи воздействия одного тела на другое через промежуточную среду, необходимо некоторое время, так как любые процессы в материальной среде передаются от точки к точке с конечной и вполне определенной скоростью. В специальной теории относительности утверждается, что нет скорости передачи взаимодействий больше, чем м /с. Ошибочность позиции Эйнштейна состоит в том, что признавая непрерывность пространства и времени (пространство и время нулевого числа измерений), он ограничивает скорость передачи взаимодействий в нем.

В § 3 мы показали, что специальная теория относительности описывает лишь один частный случай из множества фазовых пространственно-временных преобразований. Наше трехмерное пространство, в котором происходит преобразование двумерного пространства в одномерное, не является абсолютной пустотой, именно поэтому м/c. Из-за различного соотношения пространства и времени в квантах материи, плотность пространства скачкообразно уменьшается при переходе к пространствам большего числа измерений. Забегая вперед скажем, что в пространстве четвертого числа измерений, например, все процессы протекают в раз быстрее, чем в нашем трехмерном пространстве.

Макс Планк предложил в качестве естественных единиц использовать единицы, построенные из фундаментальных констант:

= 1,6м

Легко убедиться, что размерности планковской длины, массы, и времени соответствуют размерностям абсолютной системы измерения физических величин. Хуже обстоит дело с численными значениями фундаментальных планковских величин. В области значений, достигнутых современной физикой, эти величины имеют порядок: ~м, ~c. Можно предположить, что мы еще не достигли планковских значений длины и времени, но что делать с планковской массой? Ведь планковская масса – это масса обычной пылинки, состоящей из миллионов атомов, и поэтому она не может быть фундаментальной массой. На самом деле ситуация еще хуже.

Мы установим, что гравитационная постоянная не такая уж фундаментальная, она есть производная от скорости света. Более того, так как скорость света имеет производную, отличную от нуля, то она тоже является величиной переменной, и быть фундаментальной константой никак не может. Но и это еще не все. Чтобы соблюдался закон сохранения энергии, вместе со скоростью света должна изменяться и постоянная Планка. Похоже на то, что в природе вообще нет ничего постоянного и правы релятивисты, утверждающие, что все относительно. Но это не так. Чтобы соблюдался закон сохранения энергии, скорость света и постоянная Планка в должны изменяться так, чтобы

м ~

Так как нет силы, меньше, чем h, и нет скорости, больше чем с , (мы рассматриваем с с позиций наблюдателя, находящегося в трехмерном пространстве), то величина , принадлежащая пространству первого измерения, является той самой фундаментальной длиной, поисками которой квантовая механика занималась с момента своего появления:

Итак, (4.1) дает нам минимальное значение физических величин пространства первого измерения. В теории многомерных пространств принцип неопределенностей Гейзенберга можно сформулировать следующим образом: минимальное значение физических величин пространства пятого измерения равно постоянной Планка:

Зная и , не составляет труда найти формулу для вычисления минимальных значений физических величин пространства любого числа измерений, такую, чтобы размерности физических величин соответствовали размерностям пространства:

Принцип неопределенностей Гейзенберга является частным случаем формулы (4.3) при , и в одном из возможных вариантов может быть записан в виде:

(4.4)

где: и - неопределенности в определении координаты и скорости тела, имеющего массу .

Неопределенности никак не связаны с наблюдателем, они полностью определяются квантовыми свойствами пространства-времени. В квантовой теории относительности наблюдатель выведен из наблюдаемого пространства в пространство большей размерности и никак не может влиять на результаты измерений.

Причина, по которой специалист в области квантовой механики Р. Фейнман мог совершенно спокойно сказать, что квантовую механику не понимает никто, кроется в том, что основы квантовой механики были сформулированы не полностью.

Формула (4.3) – это формула общего члена геометрической прогрессии, образующей некоторое гипердействительное число. Отношение минимальных порций (квантов) двух соседних пространств есть величина постоянная:

Справедливость (4.5) доказывается прямой подстановкой значений и в формулу (4.3)

При фазовых пространственно-временных преобразованиях изменяется размерность пространства. Процесс происходит с соблюдением закона сохранения материи, поэтому увеличение (уменьшение) количества пространства приводит к уменьшению (увеличению) количества времени в материи:

Из (4.5) и (4.6) следует, что максимальная скорость протекания процессов в двух соседних пространствах отличается в число раз:

(4.7)

Формула (4.7) не отменяет принципа относительности, физические процессы протекают одинаково в пространствах любой размерности. На основании (4.7) можно лишь утверждать, что в пространствах различной размерности процессы протекают с различной максимальной скоростью. Увеличение времени жизни элементарных частиц объясняется не только замедлением (увеличением масштаба) времени, но и сокращением масштаба пространства.

Значение максимальной скорости изменяется скачкообразно при изменении размерности пространства-времени. Постулат постоянства скорости света действует лишь в пространстве фиксированного числа измерений. Переходя к пространству большей размерности, мы принимаем за ноль скорость света пространства меньшей размерности.

Линейные размеры квантов абсолютных (не искривленных) пространств найдем, исходя из чисто геометрических соображений:

По (4.8) получаем, что квант абсолютного одномерного пространства – это отрезок прямой длиной 7,37м; квант двумерного пространства – это квадрат со стороной 1,13м; квант трехмерного пространства – это куб со стороной 1,30м.

Линейные размеры квантов абсолютного пространства-времени связаны с соответствующими размерами времени соотношением:

Из (4.9) следует, что минимально возможная продолжительность процессов в пространстве первого измерения составляет 2,45с; в пространстве второго измерения – 3,76с; а в пространстве третьего измерения – 4,34с

Радиус кванта замкнутого (равномерно искривленного) пространства согласно (3.6):

(4.10)

Число квантов в замкнутом пространстве:

(4.11)

Из (4.3) и (4.11) следует, что энергия, связывающая кванты пространства-времени в единую физическую систему, равна:

Эта же энергия выделяется при фазовых пространственно-временных преобразованиях . Формула энергии Эйнштейна есть частный случай формулы (4.12) при . По формуле Эйнштейна мы извлекаем энергию связи квантов двумерного пространства на атомных электростанциях . Но энергия связи есть и у квантов трехмерного пространства, или, как его сейчас называют, физического вакуума :

Можно вычислить, что в одном кубическом метре трехмерного пространства сосредоточена энергия, эквивалентная энергии 1130 тонн тротила. Если мы научимся расщеплять кванты вакуума, то получим неисчерпаемый источник энергии. Помимо всего прочего, мы получим возможность не создавать большие запасы энергии на космических кораблях, а черпать ее прямо из космического пространства.

В теории многомерных пространств можно рассматривать дробные размерности пространства (рис.1). Широкое применение дробных интегралов и производных сдерживается отсутствием их четкого физического истолкования, такого, например, как у обыкновенного интеграла и обыкновенной производной.

В классической геометрии нет промежуточных объектов между точкой () и отрезком прямой (), между отрезком прямой и квадратом () и так далее. В общем случае значение суммарной дробной размерности находится по формуле:

Неподвижное двумерное пространство имеет размерность , это же пространство, движущееся со скоростью света, имеет размерность , а его суммарная дробная размерность при равна:

Целые показатели размерности бывают только у неподвижных пространств. Это предельный идеальный случай, который мы можем представить себе только теоретически, ведь реальное пространство – время без движения не существует.

Зачастую дробные показатели размерности считают противоестественными. Такой взгляд стал возможным лишь из-за того, что показатели размерности в большинстве физических процессов мало отличаются от целых чисел ввиду малых скоростей движения реальных физических объектов.

Дробные степени в показателях размерностей возникают также при описании фрактальных (разномасштабных, подобных целому) сред. В фрактальной среде, в отличие от сплошной среды, случайно блуждающая частица удаляется от места старта медленнее, так как не все направления движения становятся для нее доступными. Замедление диффузии в фрактальных средах настолько существенно, что физические величины начинают изменяться медленнее первой производной и учесть этот эффект можно только в интегрально – дифференциальном уравнении, содержащем производную по времени дробного порядка

Числа, обратные бесконечно малым, есть числа бесконечно большие. Например, число, обратное , дает максимальное значение физических величин пространства минус первого измерения, то есть, времени:

Так как образуют геометрическую прогрессию, то и числа должны образовывать геометрическую прогрессию. Кроме того, размерности должны соответствовать размерностям физических величин в абсолютной системе измерения. Всем этим требованиям удовлетворяет формула

Формула (4.3) описывает физические пространства отрицательной кривизны микромира, а формула (4.13) – пространства положительной кривизны Вселенной. Численные значения максимальных и минимальных значений физических величин приведены в табл.2.

Соответствует размерности материи, следовательно обычная математика работает с безразмерными точными числами от нуля до невообразимо велики. В квантовом микромире пренебрежение неопределенностями может привести к ошибкам. При устойчивых физических процессах и сходимости к определенному результату, неопределенности должны быть достаточно малыми, чтобы можно было использовать обычную логику и математику.

В неустойчивых процессах неопределенности должны приводить к полной «размытости» результата, что делает возможным применение традиционных вероятностных методов квантовой механики. Если процесс неустойчивый, то малая «размытость» приводит к неопределенности результата.

В любом случае следует остановиться, достигнувили .

Наличие неопределенностей делает возможным применение так называемой «целесообразной логики». Целесообразная логика не претендует на роль главной логической конструкции. Она определяет область применимости известных вариантов неклассической логики, таких как конструктивная, релевантная (уместная), многозначная и нечеткая логика. В этой логической системе высказывание А = В верно или неверно в зависимости от того, сколь велика разность А – В и препятствует ли это достижению цели.

В рамках целесообразной логики проблема осла, стоящего между двумя стогами сена, решается путем перехода к рассмотрению ансамбля ослов. Ослы располагаются не точно посредине, а в некотором пространстве между стогами. В этом случае ослы распределятся на две равные группы и пойдут по кратчайшему пути, одни направо, а другие налево. Такое поведение ослов целесообразно. Вопрос о том, куда пойдет каждый конкретный осел ставить нецелесообразно. В этом и состоит плата за переход к вероятностным методам вычислений.

В рамках классической логики осел останется на месте и умрет от голода. Такое поведение осла нецелесообразно. При применении целесообразной логики, как и при применении обычной логики, вычисления следует прекратить, достигнув или . Мы не имеем права переходить границы научного познания.

Следует обратить внимание на одно важное обстоятельство: мы переходим к вероятностным вычислениям не из-за того, что достигли , а из-за того, что достигли предела точности наших приборов. Сторонники копенгагенской трактовки квантовой механики поторопились объявить, что физика вышла на минимальные значений физических величин, ограничивающих действие физических законов и применение обычной логики. В связи с этим неправильно считать, что электрон и другие элементарные частицы не обладают внутренней структурой. Возможно построение механических моделей электрона и элементарных частиц из строительных блоков одномерного пространства (струны длинойм) двумерного пространства (сферы площадью м2) и трехмерного пространства (кубики объемомм3).

Более того, у нас появляется возможность дать математическое определение и систематизировать некоторые физические величины, ранее такого определения не имевшие.

Материя: ;

Эфир: . В эфире взаимодействия либо не передаются (), либо передаются мгновенно (), лишены смысла понятия пространственной и временной протяженности, часть равна целому, начало совмещено с концом, бесконечно большое равно бесконечно малому. В эфире не соблюдается принцип причинности. Необычность физических свойств эфира привела к отказу от него в начале XX века;

Физический вакуум: . Это трехмерное пространство без вещества и поля

Формула (4.13) расширяет действие принципа неопределенностей Гейзенберга на максимальное значение всех физических величин. Из (4.3) и (4.13) следует, что принцип неопределенностей Гейзенберга – это лишь частный случай неопределенностей значений физических величин пространства пятого измерения и должен записываться в виде:

(4.14)

Если - число измерений движущегося пространства, то при теория многомерных пространств дает теорию суперструн, при - специальную, а при - общую теорию относительности.

Волновая функция
Wave function

Волновая функция (или вектор состояния) – комплексная функция, описывающая состояние квантовомеханической системы. Её знание позволяет получить максимально полные сведения о системе, принципиально достижимые в микромире. Так с её помощью можно рассчитать все измеряемые физические характеристики системы, вероятность пребывания её в определенном месте пространства и эволюцию во времени. Волновая функция может быть найдена в результате решения волнового уравнения Шредингера.
Волновая функция ψ (x, y, z, t) ≡ ψ (x,t) точечной бесструктурной частицы является комплексной функцией координат этой частицы и времени. Простейшим примером такой функции является волновая функция свободной частицы с импульсом и полной энергией Е (плоская волна)

Волновая функция системы А частиц содержит координаты всех частиц: ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t).
Квадрат модуля волновой функции отдельной частицы | ψ (,t)| 2 = ψ *(,t) ψ (,t) дает вероятность обнаружить частицу в момент времени t в точке пространства, описываемой координатами , а именно, | ψ (,t)| 2 dv ≡ | ψ (x, y, z, t)| 2 dxdydz это вероятность найти частицу в области пространства объемом dv = dxdydz вокруг точки x, y, z. Аналогично, вероятность найти в момент времени t систему А частиц с координатами 1 , 2 ,..., A в элементе объема многомерного пространства дается величиной | ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t)| 2 dv 1 dv 2 ...dv A .
Волновая функция полностью определяет все физические характеристики квантовой системы. Так среднее наблюдаемое значение физической величины F у системы дается выражением

где - оператор этой величины и интегрирование проводится по всей области многомерного пространства.
В качестве независимых переменных волновой функции вместо координат частиц x, y, z могут быть выбраны их импульсы p x , p y , p z или другие наборы физических величин. Этот выбор зависит от представления (координатного, импульсного или другого).
Волновая функция ψ (,t) частицы не учитывает ее внутренних характеристик и степеней свободы, т. е. описывает ее движение как целого бесструктурного (точечного) объекта по некой траектории (орбите) в пространстве. Этими внутренними характеристиками частицы могут быть её спин, спиральность, изоспин (для сильновзаимодействующих частиц), цвет (для кварков и глюонов) и некоторые другие. Внутренние характеристики частицы задаются специальной волновой функцией её внутреннего состояния φ. При этом полная волновая функция частицы Ψ может быть представлена в виде произведения функции орбитального движения ψ и внутренней функции φ:

поскольку обычно внутренние характеристики частицы и её степени свободы, описывающие орбитальное движение, не зависят друг от друга.
В качестве примера ограничимся случаем, когда единственной внутренней характеристикой, учитываемой функцией , является спин частицы, причем этот спин равен 1/2. Частица с таким спином может пребывать в одном из двух состояний − с проекцией спина на ось z, равной +1/2 (спин вверх), и с проекцией спина на ось z, равной -1/2 (спин вниз). Эту двойственность описывают спиновой функцией взятой в виде двухкомпонентного спинора:

Тогда волновая функция Ψ +1/2 = χ +1/2 ψ будет описывать движение частицы со спином 1/2, направленным вверх, по траектории, определяемой функцией ψ , а волновая функция Ψ -1/2 = χ -1/2 ψ будет описывать движение по той же траектории этой же частицы, но со спином, направленным вниз.
В заключении отметим, что в квантовой механике возможны такие состояния, которые нельзя описать с помощью волновой функции. Такие состояния называют смешанными и их описывают в рамках более сложного подхода, использующего понятие матрицы плотности. Состояния квантовой системы, описываемые волновой функцией, называют чистыми.

Волновая функция (или вектор состояния) – комплексная функция, описывающая состояние квантово-механической системы. Её знание позволяет получить полные сведения о системе микромира. Так с её помощью можно рассчитать все измеряемые физические характерис-тики системы, вероятность пребыва-ния её в определенном месте пространства и эволюцию во времени. Волновая функция может быть найдена в результате решения волнового уравнения Шредингера.

Величина |ψ(x,y,z,t)| 2 dV пропорциональна вероятности того, что частица будет обнаружена в момент времени t в объеме dV в окрестности точки (x,y,z).

Квадрат модуля волновой функции определяет вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV:dP=(|Y|^2) 2 dV=YY * dV.

где Y * - комплексно - сопряженная волновая функция.

Величина (|Y|^2)=YY * = dP/ dV - имеет смысл плотности вероятности.

Интеграл, взятый по всему пространству, должен равняться единице (вероятность достоверного события Р=1 ). – условие нормировки: обнаружение частицы во всем пространстве является достоверным событием, вероятность которого равна единице.

19. Уравнение Шрёдингера и его применение к свободному электрону.

Ψ– волновая функция.

i = - мнимая единица; m - - масса частицы; ∆ − оператор Лапласа, который в декартовой системе имеет вид = , U(x,y,z,t ) – потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле в точке с координатами (x,y,z ).

Для описания поведения электрона в атоме, в ряде случаев важно уметь находить стационарные решения уравнения Шредингера, не содержащие времени. Для решения этой задачи нужно получить так называемое стационарное уравнение Шредингера, в котором исключена зависимость Ψ от времени.

Уравнение Шрёд. для стационарных состояний.

Поле стационарно, когда его характеристики не зависят от времени, например, для состояний с фиксированными значениями энергии.

Другая запись.

Для свободного электрона:

20. Применение уравнения Шрёдингера к электрону в потенциальной яме.

Ур-иеШрёд.:

Частица не проникает за пределы ямы, поэтому вероятность ее обнаружения за пределами ямы равна нулю. На границах ямы волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в таком случае имеют вид:

В пределах ямы уравнение Шредингера 0

Общее решение дифференциального уравнения:

Т.к. B = 0 (из ), то

Ур-ие: выполняется только при kl = nπ. Т.е. необходимо, чтобы: .

Получается, что энергия зависит от n:

Т.е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками, удовлетворяется только при собственных значениях En, зависящих от целого числа n. Следовательно, энергия En частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками принимает лишь определенные дискретные значения , т.е. квантуется. Квантовые значения энергии En называются уровнями энергии , а число п, определяющее энергетические уровни – главным квантовым числом .

Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими стенками может находиться только на определенном энергетическом уровне En, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии п.

Применение уравнения Шредингера к частице в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками приводит к квантовым значениям энергии и координат, в то время как классическая механика на энергию этой частицы лишних ограничений не накладывает.

или пси-функция – Основной математический объект квантовой механики при ее формулировке, как волновой механики.
В простейшем случае это комплексная квадратично интегрируема функция координат и времени, ассоциированная с определенным физическим объектом, например, с элементарными частицами, либо с физическим системой. Описание квантовой системы с помощью функции, которая бы описывала ее волновые свойства предложил Эрвин Шредингер.
Борн Макс интерпретировал волновую функцию, как амплитуду вероятности. В этой интерпретации квадрат модуля волновой функции соответствует плотности вероятности положения частицы. Таким образом, вероятность того, что частица находится в области пространства W в момент времени t определяется как

А – Функция, комплексно сопряженная с

При интегрировании по всему пространству это выражение, как вероятность вполне определенного события, должен давать единицу:

Это условие называется условия нормировки пси-функции.
Физическая величина, которая может определяться в эксперименте, в квантовой механике задается определенным эрмитовых операторов. Зная волновую функцию можно определить среднее значение такой величины с помощью правила

Где – Это квантовомеханический оператор.
Для описания элементарных частиц, которые могут иметь отличный от нуля спин, однокомпонентной, скалярной, волновой функции недостаточно. Движение таких частиц задается совокупностью из нескольких волновых функции, которая имеет широкую название: вектор состояния.

Например, электрон со спином 1 / 2 описывается совокупностью четырех волновых функций.
Несмотря на слово «вектор», вектор состояния не является настоящим вектором в пространстве. Здесь этот термин употребляется скорее в смысле вектора линейной алгебры. По пространственных свойств, то при вращении системы координат, вектор состояния в целом может иметь особые свойства. Например, вектор состояния для электрона Спинор.
Обычно совокупность нескольких волновых функций, входящих в состав вектора состояния, тоже называют волновой функцией.
Волновая функция обозначена с точностью до произвольного множителя в форме e i ?, где? – любое действительное число. Подстановка функции

Не меняет средних значений наблюдаемых физических величин.
Волновая функция системы многих частиц
Волновая функция квантовой системы, состоящей из нескольких частиц, зависит от координат всех частиц. Например, для двух частиц . При определении средних значений наблюдаемых величин интегрирование проводится по всему конфигурацийноми пространстве. Например, для двух частиц

В случае тождественности частиц, на волновую функцию накладывается дополнительное условие, связанное с инвариантностью относительно перестановок этих частиц, согласно принципу Тождественные. Квантовые частицы делятся на два класса – фермионы и бозоны. Для фермионов

Есть волновая функция меняет знак при перестановке частиц. Такое фунции называют антисимметричной относительно перестановок. Для бозонов

Т.е. при перестановке частиц волновая функция остается неизменной. Такую функцию называют симметричной относительно перестановок.