Важной экономической проблемой является своевременное обновление оборудования: автомобилей, станков, телевизоров и т. п. Старение оборудования включает физический и моральный износ, в результате чего растут затраты на ремонт и обслуживание, снижается производительность труда и ликвидная стоимость. Задача заключается в определении оптимальных сроков замены старого оборудования. Критерием оптимальности являются доход от эксплуатации оборудования (задача максимизации) либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода (задача минимизации).
Предположим, что планируется эксплуатация оборудования в течение некоторого периода времени продолжительностью N лет. Оборудование имеет тенденцию с течением времени стареть и приносить все меньший доход R (T ) (T – возраст оборудования). При этом есть возможность в начале любого года продать устаревшее оборудование за цену S (T ) , которая также зависит от возраста T , и купить новое оборудование за цену P . Под возрастом оборудования понимается период эксплуатации оборудования после последней замены, определенный в годах. Требуется найти оптимальный план замены оборудования с тем, чтобы суммарный доход за все N лет был максимальным, учитывая, что к началу эксплуатации возраст оборудования составлял T 0 лет.
Исходными данными в задаче являются доход r(t) от эксплуатации в течение одного года оборудования возраста t лет, остаточная стоимость S(t), цена нового оборудования P и начальный возраст оборудования T 0 .
Таблица 26
|
S (N ) |
При составлении динамической модели выбора оптимальной стратегии обновления оборудования процесс замены рассматривается как N -шаговый, т. е. период эксплуатации разбивается на N -шагов.
Выберем в качестве шага оптимизацию плана замены оборудования с K -го по N -й годы.
Очевидно, что доход от эксплуатации оборудования за эти годы будет зависеть от возраста оборудования к началу рассматриваемого шага, т. е. K -го года.
Поскольку процесс оптимизации ведется с последнего шага (K = N ), то на K -м шаге неизвестно, в какие годы с первого по (K – 1 )-й должна осуществляться замена и соответственно неизвестен возраст оборудования к началу K -го года. Возраст оборудования, который определяет состояние системы, обозначим T . На величину T накладывается следующее ограничение:
Выражение (*) свидетельствует о том, что T не может превышать возраст оборудования за (K – 1 )-й год его эксплуатации с учетом возраста к началу первого года, который составляет T 0 лет; и не может быть меньше единицы (этот возраст оборудование будет иметь к началу K -го года, если замена произошла в начале предыдущего (K – 1 )-го года).
Таким образом, переменная T в данной задаче является переменной состояния системы на K -м шаге.
Переменной управления на K -м шаге является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений: сохранить (C) или заменить (З) оборудование в начале K -го года:
Функцию Беллмана Fk (T ) определяют как максимально возможный доход от эксплуатации оборудования за годы с K -го по N -й, если к началу K -го возраст оборудования составлял T лет. Применяя то или иное управление, система переходит в новое состояние. Так, например, если в начале K -го года оборудование сохраняется, то к началу (K + 1 )-го года его возраст увеличится на единицу (состояние системы станет T +1 ), в случае замены старого оборудования новое достигнет к началу (K + 1 )-го года возраста TI = 1 год.
На этой основе можно записать уравнение, которое позволяет рекуррентно вычислить функцию Беллмана, опираясь на результаты предыдущего шага. Для каждого варианта управления доход определяется как сумма двух слагаемых – непосредственного результата управления и его последствий.
Если в начале каждого года сохраняется оборудование, возраст которого T лет, то доход за этот год составит R (T ) . К началу (K + 1 )-го года возраст оборудования достигнет (T + 1 ) и максимально возможный доход за оставшиеся годы (с (K + 1 )-го по N -й) составит Fk +1 (T +1) . Если в начале K -го года принято о замене оборудования, то продается старое оборудование возраста T лет по цене S (T ) , приобретается новое за P единиц, а его эксплуатация в течение K -го года нового оборудования принесет прибыль R (0) . К началу следующего года возраст оборудования составит 1 год и за все оставшиеся годы с (K + 1 )-го по N -й максимально возможный доход будет Fk +1 (1) . Из двух возможных вариантов управления выбирается тот, который приносит максимальный доход. Таким образом, уравнение Беллмана на каждом шаге управления имеет вид
(31)
Функция Fk
(T
)
вычисляется на каждом шаге управления для всех 
. Управление, при котором достигается максимум дохода, является оптимальным.
Для первого шага условной оптимизации при k = n функция представляет собой доход за последний n-й год:
(32)
Значения функции Fn (T ) , определяемые Fn -1 (T ), Fn -2 (T ) вплоть до F 1 (T ). F 1 (T 0 ) представляют собой возможные доходы за все годы. Максимум дохода достигается при некотором управлении, применяя которое на первом году, мы определяем возраст оборудования к началу второго года. Для данного возраста оборудования выбирается управление, при котором достигается максимум дохода за годы со второго по N -й и т. д. В результате на этапе безусловной оптимизации определяются годы, в начале которых следует произвести замену оборудования.
Пример 74. Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования на период продолжительностью 6 лет, если годовой доход r(t) и остаточная стоимость S(t) в зависимости от возраста заданы табл. 27, стоимость нового оборудования равна P = 13, а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составлял 1 год.
Таблица 27
|
S (T ) |
. 1 этап. Условная оптимизация.
1-й шаг. K = 6 . Для первого шага возможные состояния системы t = 1, 2, …, 6. Функциональное управление имеет вид (31).
2-й шаг. K = 5 . Для второго шага возможные состояния системы t = 1, 2, …, 5. Функциональное уравнение имеет вид
3-й шаг. K = 4 .
4-й шаг. K = 3 .
5-й шаг. K = 2 .
6-й шаг. K = 1 .
Результаты вычислений Беллмана Fk (T ) приведены в следующей таблице, в которой K – год эксплуатации, T – возраст оборудования.
Таблица 28
В табл. 28 выделено серым значение функции, соответствующее состоянию (З) - замена оборудования.
2-й этап. Безусловная оптимизация.
Безусловная оптимизация начинается с шага при K = 1 . Максимально возможный доход от эксплуатации оборудования за годы с 1-го по 6-й составляет F 1 (1) = 37 . Этот оптимальный выигрыш достигается, если на первом году не производить замены оборудования. Тогда к началу второго года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: T 2 = T 1 + 1 = 1 + 1 = 2 . Безусловно, оптимальное управление при K =2 , Х2(2) = С , т. е. максимум дохода за годы со 2-го по 6-й достигается, если оборудование не заменяется.
К началу третьего года при k=3 возраст оборудования станет: T 3 = T 2 + 1 = 3. Безусловное оптимальное управление Х3(3) = З , т. е. для получения максимума прибыли за оставшиеся годы необходимо провести замену оборудования.
К началу четвертого года при K =4 возраст оборудования станет равен T 4 =1 . Безусловное оптимальное управление Х4(1) = С .
Таким образом, за 6 лет эксплуатации оборудования замену надо произвести один раз – в начале третьего года эксплуатации.
Важной экономической проблемой является своевременное обновление устаревшего оборудования: автомобилей, станков и т.п. Старение оборудования включает физический и моральный износ, в результате чего растут затраты на ремонт и обслуживание, снижается производительность труда и ликвидная стоимость. Поэтому на каком-то этапе эксплуатация устаревшего оборудования становится менее выгодной, нежели приобретение и использование нового. Задача заключается в определении оптимальных сроков замены старого оборудования.
Критерием оптимальности является доход от эксплуатации оборудования (задача максимизации), либо суммарные затраты на эксплуатацию в течение планируемого периода (задача минимизации).
Предположим,
что планируется эксплуатация оборудования
в течение некоторого периода времени
продолжительностью n
лет. Оборудование имеет тенденцию с
течением времени стареть и приносить
все меньший доход
(t
-возраст
оборудования). При этом есть возможность
в начале любого года продать устаревшее
оборудование за цену
,
которая
также зависит от возраста t
,
и купить
новое оборудование за цену Р.
Под возрастом
оборудования понимается период
эксплуатации оборудования после
последней замены, определенный в годах.
Требуется найти оптимальный план замены
оборудования с тем, чтобы суммарный
доход за все n
лет был бы максимальным, учитывая, что
к началу эксплуатации возраст оборудования
составлял t
0
лет.
Исходными
данными в задаче являются доход
от эксплуатации в течение одного года
оборудования возрастаt
лет, остаточная стоимость
,
цена нового оборудованияР
и начальный возраст оборудования t
0 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При составлении динамической модели выбора оптимальной стратегии обновления оборудования процесс замены рассматривается как n -шаговый, т.е. период эксплуатации разбивается на n -шагов.
Выберем в качестве шага оптимизацию плана замены оборудования с k -го по n -й годы.
Очевидно, что доход от эксплуатации оборудования за эти годы будет зависеть от возраста оборудования к началу рассматриваемого шага, т.е. k -го года.
Поскольку
процесс оптимизации ведется с последнего
шага (k
= n
),
то на k
-м
шаге неизвестно, в какие годы с первого
по (k
-
1)-й
должна
осуществляться замена и соответственно
неизвестен возраст оборудования к
началу k
-го года. Возраст оборудования, который
определяет состояние системы, обозначим
t
.
На
величину t
накладывается следующее ограничение:
.
Это
выражение свидетельствует
о том, что t
не может
превышать возраста оборудования за
(k
-1)-й
год его эксплуатации с
учетом возраста
к началу первого года, который составляет
лет; и не
может быть меньше единицы (этот возраст
оборудование будет иметь к началу k
-го года, если замена его произошла
вначале предыдущего (k
-1)-го года).
Таким образом, переменная t в данной задаче является переменной состояния системы на k -м шаге.
Переменной управления на k -м шаге является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений: сохранить (С) или заменить (З) оборудование в начале k -го года:
Функцию
Беллмана 
определяют как максимально возможный
доход от эксплуатации оборудования за
годы с k
-го по n
-й, если к началу k
-го возраст оборудования составлял t
лет. Применяя то или иное управление,
система переходит в новое состояние.
Так,
например, если в начале k
-го года оборудование сохраняется, то
к началу (k
+1)-го года его возраст увеличится на
единицу (состояние системы станет t
+
1),
в случае замены старого оборудования
новое достигнет к началу (k
+1)-го
года возраста
год.
На этой основе можно записать уравнение, которое позволяет рекуррентно вычислить функции Беллмана, опираясь на результаты предыдущего шага. Для каждого варианта управления доход определяется как сумма двух слагаемых – непосредственного результата управления и его последствий.
Если
в начале каждого года сохраняется
оборудование, возраст которого t
лет, то доход
за этот год составит
.
К началу
(k
+1)-го года возраст оборудования достигнет
(t
+
1)и
максимально возможный доход за оставшиеся
годы (с (k
+
1)-го
по n
-й) составит 
.
Если в начале k
-го года принято решение о замене
оборудования, то продается старое
оборудование возраста t
лет по цене
,
приобретается новое заР
единиц, а эксплуатация его в течение k
-го года нового оборудования принесет
прибыль
.
К началу следующего года возраст
оборудования составит 1 год и за все
оставшиеся годы с (k
+
1)-го
по n
-й максимально возможный доход будет
.
Из двух возможных вариантов управления
выбирается тот, который приносит
максимальный доход. Таким образом,
уравнение Беллмана на каждом шаге
управления
имеет вид
Функция
вычисляется
на каждом шаге управления для всех
.
Управление, при котором достигается максимум дохода, является оптимальным .
Для первого шага условной оптимизации при k = n функция представляет собой доход за последний n -й год:
Значения
функции
,
определяемые
,
вплоть до
.
,
представляют собой возможные доходы
за все годы. Максимум дохода достигается
при некотором управлении, применяя
которое на первом году, мы определяем
возраст оборудования к началу второго
года. Для данного возраста оборудования
выбирается управление, при котором
достигается максимум дохода за годы со
второго поn
-й и т. д. В результате на этапе безусловной
оптимизации определяются годы, в начале
которых следует произвести замену
оборудования.
Пример.
Найти оптимальную стратегию эксплуатации
оборудования на период продолжительностью
6 лет, если годовой доход
и остаточная
стоимость
в зависимости от возраста заданы в
таблице 1, стоимость нового оборудования
равнаР
=13,
а возраст оборудования к началу
эксплуатационного периода составлял
1 год.
Таблица 1.
|
| |||||||
|
|
В процессе эксплуатации оборудование подвергается физическому и моральному износу. Существует два способа восстановления оборудования - полное и частичное. При полном восстановлении оборудование меняется на новое, при частичном оборудование ремонтируется. Для оптимального использования оборудования нужно найти возраст, при котором его необходимо заменить, чтобы доход от машины был максимальным или, если доход подсчитать не удается, издержки на ремонтно-эксплуатационные нужды были минимальными. Данный подход рассматривается с позиции экономических интересов потребителя.
Для оптимизации ремонта и замены оборудования требуется разработать на плановый период стратегию по замене машины. В качестве экономических интересов может быть использован один из двух подходов:
1. Максимум дохода от машины за определенный промежуток времени.
2. Минимум затрат на ремонтно-эксплуатационный нужды, если доход подсчитать не удается.
Данная задача решается методом динамического программирования. Основная идея этого метода заключается в замене одновременного выбора большего количества параметров поочередным их выбором. Этим методом могут быть решены самые различные задачи оптимизации. Общность подхода к решению самых различных задач является одним из достоинств этого метода.
Рассмотрим механизм оптимизации ремонта и замены оборудования. Для решения задачи введем следующие обозначения:
t - возраст оборудования;
d(t) - чистый годовой доход от оборудования возраста t;
U(t) - издержки на ремонтно-эксплуатационные нужды машины возраста t;
С - цена нового оборудования.
Для решения этой задачи введем функцию fn(t) , которая показывает величину максимального дохода за последние n - лет при условии, что в начале периода из n - лет у нас была машина возраста t - лет.
Алгоритм решения задачи следующий:
1) f1(t) = max d(0) - С
) fn(t) = max fn-1(t+1) + d(t)
fn-1(1) + d(0) - С
Увеличение издержек приведет к снижению чистого дохода, который рассчитывается так:
d(t) = r(t) - u(t)
r(t) - годовой объем дохода от оборудования возраста t;
u(t) - годовые затраты на ремонтно - эксплуатационные нужды
оборудования возраста t.
Подход максимизации дохода
Для решения этой задачи введем функцию fn(t) , которая показывает величину максимального дохода за последние n - лет при условии, что в начале периода из n-лет у нас было оборудование возраста t-лет.
Если до конца периода остался 1 год
Если до конца периода осталось n лет
(t) = max
где t - возраст оборудования;
d (t) - чистый годовой доход от оборудования возраста t;
C - цена нового оборудования.
Увеличение издержек приведет к снижению чистого дохода, который рассчитывается так
(t) = r(t) - u(t)
где r (t) - годовой объем дохода от оборудования возраста t;
u(t) - годовые затраты на ремонтно-экплуатационные нужды оборудования возраста t.
Рассчитаем чистый доход по формуле, зная динамику поступления дохода и роста издержек на ремонт.
Таблица 2. Чистый доход от оборудования по годам
Появление первых машин поставило задачу контроля их технического состояния для определения рациональных сроков и видов ремонтных воздействий. В чёрной металлургии эта задача первоначально решалась путём контроля температуры, наблюдением за изменением вибрации и анализа шумов механизмов. В основном использовались органолептические методы. Осуществлялся контроль специалистами высокой квалификации, оснащёнными простейшими приспособлениями и многолетним практическим опытом. В дальнейшем, при внедрении системы планово-предупредительных ремонтов (ППР) , этот опыт был использован для составления правил технической эксплуатации. Такое тиражирование сказалось на качестве операций по наблюдению за техническим состоянием. Система ППР ориентировала ремонтные службы на поддержание безаварийной работы оборудования путём принудительной замены узлов в среднестатистические сроки. Часто это не приводило к желаемым результатам и увеличивало затраты на содержание оборудования.
Исследования надёжности работы металлургического оборудования [ , ], проведенные в 70-х…80-х годах, показали значительный разброс в сроках службы однотипных элементов. Это потребовало определения фактического состояния конкретного узла безразборными методами технической диагностики для эффективного управления надёжностью оборудования на этапе эксплуатации.
В 90-х годах становится очевидной необходимость перехода на техническое обслуживание металлургического оборудования по фактическому состоянию, что сулит значительную экономию средств, затрачиваемых на обеспечение работоспособного состояния оборудования. Основой должно являться определение фактического состояния оборудования методами технической диагностики. Опыт применения средств технической диагностики на отдельных металлургических предприятиях показал высокую экономическую эффективность.
Существуют следующие стратегии технического обслуживания и ремонта, имеющие свои достоинства и недостатки:
Виды стратегий технического обслуживания и ремонта подразделяют на две группы: пассивные и активные ().
Таблица 1.1 – Сравнительная характеристика стратегий технического обслуживания
| Наименование | Сущность | Достоинства | Недостатки |
|---|---|---|---|
| Пассивные | |||
| Ремонт после отказа | Механическое оборудование эксплуатируется до выхода из работоспособного состояния – до отказа. | Минимальные затраты на техническое обслуживание. | Непредсказуемость возникающих отказов. Значительные затраты по ликвидации последствий отказов. |
| Ремонт по состоянию | Техническое обслуживание и ремонт проводятся в зависимости от фактического состояния машин и механизмов. | Ремонт проводится в оптимальные сроки, в необходимом объёме. | Возможность одновременного отказа нескольких механизмов. Необходимость в ремонтных работах может превысить возможности ремонтной службы. |
| Активные | |||
| Планово-предупредительные ремонты | Принудительная замена узлов и деталей в сроки, устанавливаемые на основе статистического анализа отказов. | Повышение безотказности работы оборудования. | Значительные затраты на техническое обслуживание и ремонты. Замена работоспособных элементов. |
| Активная стратегия ремонтных воздействий | Выявление и устранение отклонений и неисправностей в работе механизмов. | Снижение объёмов ремонтов и увеличение срока службы оборудования. | |
Пассивные стратегии в той или иной форме отвечают на изменение технического состояния. Соответственно – это ремонт после отказа либо ремонт по состоянию, когда оборудование достигнет предела своего возможного использования. В этом случае имеется возможность одновременного отказа нескольких механизмов, тогда необходимость в ремонтных работах превысит возможности ремонтной службы, что может привести к остановке технологического процесса.
Активные стратегии влияют на состояние оборудования до возникновения необходимости ремонта путём предупредительной замены узлов и деталей либо устранением отклонений и неисправностей в работе механизмов (активная стратегия ремонтных воздействий). Принудительная замена деталей не всегда экономически оправдана, однако повышает безотказность работы оборудования. Проблематичным, в данном случае, является выбор рациональных сроков и объёмов заменяемых деталей. Если техническое состояние оборудования известно, появляется возможность снизить объёмы ремонтов и увеличить срок службы оборудования. Это осуществляется путём выявления и устранения дефектов и повреждений, приводящих к снижению ресурса.
| < | > |
Динамическое программирование
Динамическое программирование – один из разделов оптимального программирования, в котором процесс принятия и управления может быть разбит на отдельные этапы.
Экономический процесс является управляемым, если можно влиять на ход его развития. Под управлением понимается совокупность решений, принимаемых на каждом этапе для влияния на ход развития процесса. Например, выпуск продукции предприятием – управляемый процесс. Совокупность решений, принимаемых в начале года по обеспечению предприятия сырьём, замене оборудования, финансированию и т. д., является управлением. Необходимо организовать выпуск продукции так, чтобы принятые решения на отдельных этапах способствовали получению максимально возможного объёма продукции или прибыли.
Одним из основных методов динамического программирования является метод рекуррентных соотношений, который основывается на использовании принципа оптимальности, разработанного американским математиком Беллманом. Принцип состоит в том, что, каковы бы ни были начальное состояние на любом шаге и управление, выбранное на этом шаге, последующие управления должны выбираться оптимальными относительно состояния, к которому придёт система в конце данного шага. Использование данного принципа гарантирует, что управление, выбранное на любом шаге, лучше с точки зрения процесса в целом.
В некоторых задачах, решаемых методом динамического программирования, процесс управления разбивается на шаги. При распределении на несколько лет ресурсов деятельности предприятия шагом считается временной период; при распределении средств между предприятиями – номер очередного предприятия.
Одной из важнейших экономических проблем является определение оптимальной стратегии в замене старых станков, агрегатов, машин на новые.
Старение оборудования включает его физический и моральный износ, в результате чего растут производственные затраты по выпуску продукции на старом оборудовании, увеличиваются затраты на ремонт и обслуживание, снижаются производительность и ликвидная стоимость.
Вполне возможно, что старое оборудование выгоднее продать, заменить новым, чем эксплуатировать его; причём его можно заменить новым оборудованием того же вида или новым, более совершенным.
Оптимальная стратегия замены оборудования состоит в определении оптимальных сроков замены. Критерием оптимальности при этом может служить прибыль от эксплуатации оборудования, которую следует оптимизировать, или суммарные затраты на эксплуатацию в течение рассматриваемого промежутка времени, подлежащие минимизации.
Будем использовать обозначения:
r(t) – стоимость продукции, производимой за один год на единице оборудования возраста t лет;
u(t) – ежегодные затраты на обслуживание оборудования возраста t лет;
s(t) – остаточная стоимость оборудования возраста t лет;
Р – покупная цена оборудования.
Рассмотрим период N лет, в пределах которого требуется определить оптимальный план замены оборудования.
Обозначим через f N (t) максимальный доход, получаемый от оборудования возраста t лет за оставшиеся N лет цикла использования оборудования при условии оптимальной стратегии.
Возраст оборудования отсчитывается в направлении течения процесса. Так, t = 0 соответствует случаю использования нового оборудования. Временные же стадии процесса нумеруются в обратном направлении по отношению к ходу процесса. Например, N = 1 относится к одной временной стадии, остающейся до завершения процесса.
На каждом этапе N -стадийного процесса должно быть принято решение о сохранении или замене оборудования. Выбранный вариант должен обеспечивать получение максимальной прибыли.
Уравнения, помогающие выбрать оптимальное решение, имеют вид:
Первое уравнение описывает N -стадийный процесс, а второе – одностадийный. Оба уравнения состоят из двух частей: верхняя строка определяет доход, получаемый при сохранении оборудования; нижняя – доход, получаемый при замене оборудования и продолжении процесса работы на новом оборудовании.
В первом уравнении функция r(t) - u(t) есть разность между стоимостью произведённой продукции и эксплуатационными издержками на N – й стадии процесса.
Функция f N -1 (t+1) характеризует суммарную прибыль от (N - 1) оставшихся стадий для оборудования, возраст которого в начале осуществления этих стадий составляет (t + 1) лет.
Нижняя строка уравнения 1 характеризуется следующим образом: функция s(t) – P представляет чистые издержки по замене оборудования, возраст которого t лет.
Функция r (0) выражает доход, получаемый от нового оборудования возраста 0 лет. Предполагается, что переход от работы на оборудовании возраста t лет к работе на новом оборудовании совершается мгновенно, т. е. период замены старого оборудования и переход на работу на новом оборудовании укладываются в одну и ту же стадию.
Последняя функция f N -1 (1) в первом уравнении представляет собой доход от оставшихся N – 1 стадий, до начала осуществления которых возраст оборудования составляет один год.
В уравнении для одностадийного процесса нет слагаемого вида f 0 (t + 1), так как N принимает значения 1, 2, …, N . Равенство f 0 (t ) = 0 следует из определения функции f N (t).
Рассмотренные уравнения являются рекуррентными соотношениями, которые позволяют определить величину f N (t) в зависимости от f N -1 (t+1) . Данные уравнения показывают, что при переходе от одной стадии процесса к следующей возраст оборудования увеличивается с t до (t +1) лет, а число оставшихся стадий уменьшается с N до (N – 1).
Уравнения позволяют оценить варианты замены и сохранения оборудования, с тем, чтобы принять тот из них, который предполагает больший доход. Эти соотношения позволяют выбрать линию поведения при решении вопроса о сохранении и замене оборудования, а также определить прибыль, получаемую при принятии каждого из этих решений.
Пример. Р = 10, S(t) = 0, f(t) = r(t) - u(t) , представленных в таблице.
| t | |||||||||||||
| f(t) |
РЕШЕНИЕ. Запишем уравнения в следующем виде:
.
…………………………………………………
…………………………………………………
Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет выполнено условие f 1 (1) > f 2 (2), т. е. в данный момент оборудование необходимо заменить, так как величина прибыли, получаемая в результате замены оборудования, больше, чем в случае использования старого. Результаты расчётов помещаются в таблицу, момент замены отмечается звёздочкой, после чего дальнейшие вычисления по строке прекращаются.
| t f N (t) | |||||||||||||
| N | N- 1 | ||||||||||||
| f 1 (t) | |||||||||||||
| f 2 (t) | 9* | ||||||||||||
| f 3 (t) | 17 * | ||||||||||||
| f 4 (t) | 24* | ||||||||||||
| f 5 (t) | 30* | ||||||||||||
| f 6 (t) | 35* | ||||||||||||
| f 7 (t) | 41* | ||||||||||||
| f 8 (t) | 48* | ||||||||||||
| f 9 (t) | 54* | ||||||||||||
| f 10 (t) | 60* | ||||||||||||
| f 11 (t) | 65* | ||||||||||||
| f 12 (t) | 72* |
По результатам вычислений и по линии, разграничивающей области решений сохранения и замены оборудования, находим оптимальный цикл замены оборудования. Для данной задачи он составляет 4 года.
Ответ. Для получения максимальной прибыли от использования оборудования в двенадцатиэтапном процессе оптимальный цикл состоит в замене оборудования через каждые 4 года.
Задачи для групповой работы на занятии по теме «Динамическое программирование»
1. К началу рассматриваемого периода на предприятии установлено новое оборудование. Зависимость производительности этого оборудования от времени его работы, а также затраты на содержание и ремонт при различном времени его использования приведены в таблице.
Известно, что затраты, связанные с приобретением и установкой нового оборудования составляют 40 млн. р., а заменяемое оборудование списывается. Составить такой план замены оборудования в течение пяти лет, при котором общий доход за данный период времени максимален.
2. К началу анализируемого периода на предприятии установлено новое оборудование.
Определить оптимальный цикл замены оборудования при следующих исходных данных:
покупная цена оборудования (Р ) составляет 12 ден. ед.;
остаточная стоимость оборудования S (t ) = 0;
f (t ) = r (t ) – u (t ) – максимальный доход, получаемый от оборудования возраста t лет за год при условии оптимальной стратегии, где r (t ) – стоимость продукции, выпускаемой за год на единице оборудования возраста t лет, u (t ) – ежегодные затраты на обслуживание оборудования возраста t лет;
N = 8 лет.
Зависимость f (t ) от t задана в таблице.
Найти оптимальную стратегию фирмы в распределении автолавок по населённым пунктам, максимизирующую общий товарооборот.
4. В таблице указан возможный прирост выпуска продукции четырьмя плодово-консервными заводами в области в млн. р. При осуществлении инвестиций на их модернизацию с дискретностью 50 млн. р., причём на один завод можно осуществить только одну инвестицию.
Составить план распределения инвестиций между заводами области, максимизирующий общий прирост выпуска продукции.
5. В трёх областях необходимо построить 5 предприятий по переработке сельскохозяйственной продукции одинаковой мощности.
Разместить предприятия таким образом, чтобы осуществить минимальные суммарные затраты на их строительство и эксплуатацию.
Функция расходов g i (x ), характеризующая величину затрат на строительство и эксплуатацию в зависимости от количества размещаемых предприятий в i -й области, приведена в таблице.
А Х (восток)
Ответы: 1. Оборудование заменить через 3 года.
2. Оборудование заменить через 4 года.
3. В первый населённый пункт направить 1 автолавку, во второй – 3, в третий – 1, при этом товарооборот будет максимальный, равный 64 тыс. р.
4. Инвестировать третьему заводу 50 млн. р., четвёртому заводу – 150 млн. р., максимальный прирост выпуска продукции составит 146 млн. р.
5. В первой области построить 2 предприятия, в третьей – 3, минимальные затраты составят 29 млн. р.
6. 
, минимальные затраты равны 35 млн. р.
