Посмотрим, как исследовать функцию с помощью графика. Оказывается, глядя на график, можно узнать всё, что нас интересует, а именно:
- область определения функции
- область значений функции
- нули функции
- промежутки возрастания и убывания
- точки максимума и минимума
- наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.
Уточним терминологию:
Абсцисса
- это координата точки по горизонтали.
Ордината
- координата по вертикали.
Ось абсцисс
- горизонтальная ось, чаще всего называемая ось .
Ось ординат
- вертикальная ось, или ось .
Аргумент
- независимая переменная, от которой зависят значения функции. Чаще всего обозначается .
Другими словами, мы сами выбираем , подставляем в формулу функции и получаем .
Область определения
функции - множество тех (и только тех) значений аргумента , при которых функция существует.
Обозначается: или .
На нашем рисунке область определения функции - это отрезок . Именно на этом отрезке нарисован график функции. Только здесь данная функция существует.
Область значений функции - это множество значений, которые принимает переменная . На нашем рисунке это отрезок - от самого нижнего до самого верхнего значения .
Нули функции - точки, где значение функции равно нулю, то есть . На нашем рисунке это точки и .
Значения функции положительны
там, где . На нашем рисунке это промежутки и .
Значения функции отрицательны
там, где . У нас это промежуток (или интервал) от до .
Важнейшие понятия - возрастание и убывание функции на некотором множестве . В качестве множества можно взять отрезок , интервал , объединение промежутков или всю числовую прямую.
Функция возрастает
Иными словами, чем больше , тем больше , то есть график идет вправо и вверх.
Функция убывает на множестве , если для любых и , принадлежащих множеству , из неравенства следует неравенство .
Для убывающей функции большему значению соответствует меньшее значение . График идет вправо и вниз.
На нашем рисунке функция возрастает на промежутке и убывает на промежутках и .
Определим, что такое точки максимума и минимума функции .
Точка максимума
- это внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней больше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
Другими словами, точка максимума - такая точка, значение функции в которой больше
, чем в соседних. Это локальный «холмик» на графике.
На нашем рисунке - точка максимума.
Точка минимума
- внутренняя точка области определения, такая, что значение функции в ней меньше, чем во всех достаточно близких к ней точках.
То есть точка минимума - такая, что значение функции в ней меньше, чем в соседних. На графике это локальная «ямка».
На нашем рисунке - точка минимума.
Точка - граничная. Она не является внутренней точкой области определения и потому не подходит под определение точки максимума. Ведь у нее нет соседей слева. Точно так же и на нашем графике не может быть точкой минимума.
Точки максимума и минимума вместе называются точками экстремума функции . В нашем случае это и .
А что делать, если нужно найти, например, минимум функции на отрезке ? В данном случае ответ: . Потому что минимум функции - это ее значение в точке минимума.
Аналогично, максимум нашей функции равен . Он достигается в точке .
Можно сказать, что экстремумы функции равны и .
Иногда в задачах требуется найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке. Они не обязательно совпадают с экстремумами.
В нашем случае наименьшее значение функции на отрезке равно и совпадает с минимумом функции. А вот наибольшее ее значение на этом отрезке равно . Оно достигается в левом конце отрезка.
В любом случае наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке достигаются либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.
Функция y=f(x) — это такая зависимость переменной y от переменной x , когда каждому допустимому значению переменной x соответствует единственное значение переменной y .
Областью определения функции D(f) называют множество всех допустимых значений переменной x .
Область значений функции E(f) — множество всех допустимых значений переменной y .
График функции y=f(x) — множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, то есть точек, вида M (x; f(x)) . График функции представляет собой некоторую линию на плоскости.
Если b=0 , то функция примет вид y=kx и будет называться прямой пропорциональностью .
D(f) : x \in R;\enspace E(f) : y \in R
График линейной функции — прямая.
Угловой коэффициент k прямой y=kx+b вычисляется по следующей формуле:
k= tg \alpha , где \alpha — угол наклона прямой к положительному направлению оси Ox .
1) Функция монотонно возрастает при k > 0 .
Например: y=x+1
2) Функция монотонно убывает при k < 0 .
Например: y=-x+1
3) Если k=0 , то придавая b произвольные значения, получим семейство прямых параллельных оси Ox .
Например: y=-1
Обратная пропорциональность
Обратной пропорциональностью называется функция вида y=\frac {k}{x} , где k — отличное от нуля, действительное число
D(f) : x \in \left \{ R/x \neq 0 \right \}; \: E(f) : y \in \left \{R/y \neq 0 \right \} .
Графиком функции y=\frac {k}{x} является гипербола.
1) Если k > 0 , то график функции будет располагаться в первой и третьей четверти координатной плоскости.
Например: y=\frac{1}{x}
2) Если k < 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.
Например: y=-\frac{1}{x}
Степенная функция
Степенная функция — это функция вида y=x^n , где n — отличное от нуля, действительное число
1) Если n=2 , то y=x^2 . D(f) : x \in R; \: E(f) : y \in ; основной период функции T=2 \pi
Функция-это модель. Определим X, как множество значений независимой переменной // независимая -значит любая.
Функция это правило, с помощью которого по каждому значению независимой переменной из множества X можно найти единственное значение зависимой переменной. // т.е. для каждого х есть один у.
Из определения следует, что существует два понятия- независимая переменная (которую обозначаем х и она может принимать любые значения) и зависимая переменная (которую обозначаем y или f(х) и она высчитывается из функции, когда мы подставляем х).
НАПРИМЕР у=5+х
1. Независимая -это х, значит берем любое значение, пусть х=3
2. а теперь вычисляем у, значит у=5+х=5+3=8. (у зависима от х, потому что какой х подставим, такой у и получим)
Говорят, что переменная y функционально зависит от переменной x и обозначается это следующим образом: y = f (x).
НАПРИМЕР.
1.у=1/х. (наз.гипербола)
2. у=х^2. (наз. парабола)
3.у=3х+7. (наз. прямая)
4. у= √ х. (наз. ветвь параболы)
Независимая переменная (кот. мы обозначаем х) имеет название аргумент функции.
Область определения функции
Множество всех значений, которые принимает аргумент функции, называется областью определения функции и обозначается D (f) или D (y).
Рассмотрим D (у) для 1.,2.,3.,4.
1. D (у)= (∞; 0) и (0;+∞) //всё множество действительных чисел, кроме нуля.
2. D (у)= (∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел
3. D (у)= (∞; +∞)//всё мн-во действит.чисел
4. D (у)= .
Наконец, если задана комбинация различных функций, то область определения представляет собой пересечение областей определения всех этих функций. Например, y=sin(2*x)+x/√(x+2)+arcsin(x−6)+lg(x−6). Сначала найдите область определения всех слагаемых. Sin(2*x) определен на всей числовой прямой. Для функции x/√(x+2) решите неравенство x+2>0 и область определения будет (-2; +∞). Область определения функции arcsin(x−6) задается двойным неравенством -1≤x-6≤1, то есть получается отрезок . Для логарифма имеет место неравенство x−6>0, а это есть интервал (6; +∞). Таким образом, областью определения функции будет множество (-∞; +∞)∩(-2; +∞)∩∩(6; +∞), то есть (6; 7].
Видео по теме
Источники:
- область определения функции с логарифмом
Функция - это понятие, отражающее связь между элементами множеств или другими словами это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).
Многие задачи приводят нас к поиску множества значений функции на некотором отрезке или на всей области определения. К таким задачам можно отнести различные оценки выражений, решение неравенств.
В этой статье дадим определение области значений функции, рассмотрим методы ее нахождения и подробно разберем решение примеров от простых к более сложным. Весь материал снабдим графическими иллюстрациями для наглядности. Так что эта статья является развернутым ответом на вопрос как находить область значений функции.
Определение.
Множеством значений функции y = f(x) на интервале X называют множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех .
Определение.
Областью значений функции y = f(x) называется множество всех значений функции, которые она принимает при переборе всех x из области определения .
Область значений функции обозначают как E(f) .
Область значений функции и множество значений функции - это не одно и то же. Эти понятия будем считать эквивалентными, если интервал X при нахождении множества значений функции y = f(x) совпадает с областью определения функции.
Не путайте также область значений функции с переменной x для выражения, находящегося в правой части равенства y=f(x) . Область допустимых значений переменной x для выражения f(x) – это есть область определения функции y=f(x) .
На рисунке приведены несколько примеров.
Графики функций показаны жирными синими линиями, тонкие красные линии – это асимптоты, рыжими точками и линиями на оси Оy изображена область значений соответствующей функции.
Как видите, область значений функции получается, если спроецировать график функции на ось ординат. Она может быть одним единственным числом (первый случай), множеством чисел (второй случай), отрезком (третий случай), интервалом (четвертый случай), открытым лучом (пятый случай), объединением (шестой случай) и т.п.
Так что же нужно делать для нахождения области значений функции.
Начнем с самого простого случая: покажем как определять множество значений непрерывной функции y = f(x) на отрезке .
Известно, что непрерывная на отрезке функция достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений . Таким образом, множеством значений исходной функции на отрезке
будет отрезок 
. Следовательно, наша задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке .
Для примера найдем область значений функции арксинуса.
Пример.
Укажите область значений функции y = arcsinx .
Решение.
Областью определения арксинуса является отрезок [-1; 1]
. Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на этом отрезке.
Производная положительна для всех x
из интервала (-1; 1)
, то есть, функция арксинуса возрастает на всей области определения. Следовательно, наименьшее значение она принимает при x = -1
, а наибольшее при x = 1
.
Мы получили область значений функции арксинуса 
.
Пример.
Найдите множество значений функции 
на отрезке
.
Решение.
Найдем наибольшее и наименьшее значение функции на данном отрезке.
Определим точки экстремума, принадлежащие отрезку
:
Вычисляем значения исходной функции на концах отрезка и в точках 
:
Следовательно, множеством значений функции на отрезке является отрезок 
.
Сейчас покажем, как находить множество значений непрерывной функции y = f(x) промежутках (a; b) , .
Сначала определяем точки экстремума, экстремумы функции, промежутки возрастания и убывания функции на данном интервале. Далее вычисляем на концах интервала и (или) пределы на бесконечности (то есть, исследуем поведение функции на границах интервала или на бесконечности). Этой информации достаточно, чтобы найти множество значений функции на таких промежутках.
Пример.
Определите множество значений функции на интервале (-2; 2) .
Решение.
Найдем точки экстремума функции, попадающие на промежуток (-2; 2)
:
Точка x = 0
является точкой максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус при переходе через нее, а график функции от возрастания переходит к убыванию.
есть соответствующий максимум функции.
Выясним поведение функции при x
стремящемся к -2
справа и при x
стремящемся к 2
слева, то есть, найдем односторонние пределы:
Что мы получили: при изменении аргумента от -2 к нулю значения функции возрастают от минус бесконечности до минус одной четвертой (максимума функции при x = 0 ), при изменении аргумента от нуля к 2 значения функции убывают к минус бесконечности. Таким образом, множество значений функции на интервале (-2; 2) есть .
Пример.
Укажите множество значений функции тангенса y = tgx на интервале .
Решение.
Производная функции тангенса на интервале положительна 
, что указывает на возрастание функции. Исследуем поведение функции на границах интервала:
Таким образом, при изменении аргумента от к значения функции возрастают от минус бесконечности к плюс бесконечности, то есть, множество значений тангенса на этом интервале есть множество всех действительных чисел .
Пример.
Найдите область значений функции натурального логарифма y = lnx .
Решение.
Функция натурального логарифма определена для положительных значений аргумента 
. На этом интервале производная положительна 
, это говорит о возрастании функции на нем. Найдем односторонний предел функции при стремлении аргумента к нулю справа, и предел при x
стремящемся к плюс бесконечности:
Мы видим, что при изменении x от нуля к плюс бесконечности значения функции возрастают от минус бесконечности к плюс бесконечности. Следовательно, областью значений функции натурального логарифма является все множество действительных чисел.
Пример.
Решение.
Эта функция определена для всех действительных значений x
. Определим точки экстремума, а также промежутки возрастания и убывания функции.
Следовательно, функция убывает при , возрастает при , x = 0
- точка максимума, 
соответствующий максимум функции.
Посмотрим на поведение функции на бесконечности:
Таким образом, на бесконечности значения функции асимптотически приближаются к нулю.
Мы выяснили, что при изменении аргумента от минус бесконечности к нулю (точке максимума) значения функции возрастают от нуля до девяти (до максимума функции), а при изменении x от нуля до плюс бесконечности значения функции убывают от девяти до нуля.
Посмотрите на схематический рисунок.
Теперь хорошо видно, что область значений функции есть .
Нахождение множества значений функции y = f(x) на промежутках требует аналогичных исследований. Не будем сейчас подробно останавливаться на этих случаях. В примерах ниже они нам еще встретятся.
Пусть область определения функции y = f(x) представляет собой объединение нескольких промежутков. При нахождении области значений такой функции определяются множества значений на каждом промежутке и берется их объединение.
Пример.
Найдите область значений функции .
Решение.
Знаменатель нашей функции не должен обращаться в ноль, то есть, .
Сначала найдем множество значений функции на открытом луче .
Производная функции 
отрицательна на этом промежутке, то есть, функция убывает на нем.
Получили, что при стремлении аргумента к минус бесконечности значения функции асимптотически приближаются к единице. При изменении x от минус бесконечности до двух значения функции убывают от одного до минус бесконечности, то есть, на рассматриваемом промежутке функция принимает множество значений . Единицу не включаем, так как значения функции не достигают ее, а лишь асимптотически стремятся к ней на минус бесконечности.
Действуем аналогично для открытого луча .
На этом промежутке функция тоже убывает.
Множество значений функции на этом промежутке есть множество .
Таким образом, искомая область значений функции есть объединение множеств и .
Графическая иллюстрация.
Отдельно следует остановиться на периодических функциях. Область значений периодических функций совпадает с множеством значений на промежутке, отвечающем периоду этой функции.
Пример.
Найдите область значений функции синуса y = sinx .
Решение.
Эта функция периодическая с периодом два пи. Возьмем отрезок и определим множество значений на нем.
Отрезку принадлежат две точки экстремума и .
Вычисляем значения функции в этих точках и на границах отрезка, выбираем наименьшее и наибольшее значение:
Следовательно, 
.
Пример.
Найдите область значения функции 
.
Решение.
Мы знаем, что областью значений арккосинуса является отрезок от нуля до пи, то есть, 
или в другой записи . Функция 
может быть получена из arccosx
сдвигом и растяжением вдоль оси абсцисс. Такие преобразования на область значений не влияют, поэтому, 
. Функция 
получается из растяжением втрое вдоль оси Оy
, то есть, 
. И последняя стадия преобразований – это сдвиг на четыре единицы вниз вдоль оси ординат. Это нас приводит к двойному неравенству
Таким образом, искомая область значений есть 
.
Приведем решение еще одного примера, но без пояснений (они не требуются, так как полностью аналогичны).
Пример.
Определите область значений функции 
.
Решение.
Запишем исходную функцию в виде 
. Областью значений степенной функции является промежуток . То есть, . Тогда
Следовательно, 
.
Для полноты картины следует поговорить о нахождении области значений функции, которая не является непрерывной на области определения. В этом случае, область определения разбиваем точками разрыва на промежутки, и находим множества значений на каждом из них. Объединив полученные множества значений, получим область значений исходной функции. Рекомендуем вспомнить
