Соединения

Две или несколько неподвижно или подвижно соединяемых деталей называют сопрягаемыми. Поверхности, по которым происходит соединение деталей, называют сопрягаемыми поверхностями. Остальные поверхности называются несопрягаемыми (свободными).

В соединениях деталей различают охватывающие и охватываемые поверхности.

Охватывающей поверхностью называется элемент детали с внутренней сопрягаемой поверхностью (отверстие).

Охватываемой поверхностью называется элемент детали с наружной сопрягаемой поверхностью (вал).

Понятия охватываемая и охватывающая поверхности дают более общее определение понятий "вал" и "отверстие".

По форме этих поверхностей различают следующие основные виды соединений: гладкие цилиндрические; гладкие конические; плоские, в которых охватывающие и охватываемые поверхности образованы плоскостями (например, пазы столов металлорежущих станков); резьбовые различной формы, профиля, назначения; шлицевые; шпоночные; зубчатые передачи.

Посадка - характер соединения двух деталей, определяемый разностью их размеров до сборки.

Существуют три разновидности посадок, которые получили название: посадки с зазором; посадки с натягом и переходные посадки.

Посадки с зазором

Посадка с зазором - посадка, при которой всегда образуется зазор в соединении, т. е. наименьший предельный размер отверстия больше наибольшего предельного размера вала или равен ему.

Зазор 5 - это разность между размером отверстия (О) и вала (а1) до сборки, если размер отверстия больше размера вала (рис. 5.5), т. е.

Из формулы (5.9) следует, что для этой разновидности посадок размер отверстия всегда больше или равен размеру вала. Для посадок с зазором характерно то, что поле допуска отверстия располагается выше поля допуска вала.

Рис. 5.5.

Так как размеры вала и втулки могут изменяться в пределах поля допуска, то величина зазора определяется действительными размерами соединяемых деталей.

Наибольший зазор 5тах - это разность между наибольшим предельным размером отверстия и наименьшим предельным размером вала (рис. 5.6, а), т. е.

Наименьший зазор - это разность между наименьшим предельным размером отверстия и наибольшим предельным размером вала (рис. 5.6, а), т. е.

В частном случае наименьший зазор может быть равным нулю. Средний зазор 5" (среднее арифметическое наименьшего и наибольшего зазоров)

Действительный зазор Se - зазор, определяемый Kit к разность действительных размеров отверстия и вала.

Допуск посадки с зазором ITS - сумма допусков отверстия и вала, составляющих соединение. Допуск посадки можно определить так же, как разность между наибольшим и наименьшим зазорами:

Графическое изображение полей допусков для посадок с зазором приведено на рис. 5.7.

Рис. 5.6.

Рис. 5.7.

Посадки с натягом

Посадка с натягом - посадка, при которой всегда образуется натяг в соединении, т. е. наибольший предельный размер отверстия меньше наименьшего предельного размера вала или равен ему. Натяг И- разность размеров вала и отверстия до сборки, если размер вала больше размера отверстия (рис. 5.5, б)

Для посадок с натягом характерно то, что поле допуска вала располагается выше поля допуска отверстия.

Сборка таких деталей обычно производится с помощью пресса. Натяг обычно обозначается буквой N. Величина натяга определяется действительными размерами вала и отверстия.

Рис. 5.8.

Наибольший натяг Ытж - разность между наибольшим предельным размером вала и наименьшим предельным размером отверстия до сборки (см. рис. 5.6, б и 5.8)

Наименьший натяг - это разность между наименьшим предельным размером вала и наибольшим предельным размером отверстия до сборки (рис. 5.8)

Средний натяг Ыт - среднее арифметическое наибольшего и наименьшего натягов

Действительный натяг Ne - натяг, определяемый как разность между действительными размерами вала и отверстия до сборки.

Допуск посадки с натягом ITN - разность между наибольшим и наименьшим натягами

т. е. допуск посадки с натягом равен сумме полей допусков отверстия и вала, составляющих соединение.

Посадки с натягом используются в тех случаях, когда необходимо передать крутящий момент или (и) осевую силу в основном без дополнительного крепления за счет сил трения, создаваемых натягом.

Графическое изображение расположения полей допусков для посадок с натягом приведено на рис. 5.9.

Рис. 5.9.

Переходные посадки

В этой группе посадок возможно получение как зазора, так и натяга в зависимости от действительных размеров отверстия и вала (рис. 5.10). Характерной особенностью переходных посадок является частичное перекрытие полей допусков вала и отверстия.

Переходные посадки характеризуются наибольшим натягом и 5^. Для определения наибольшего натяга и наибольшего зазора можно воспользоваться формулами (5.17); (5.18) и (5.10); (5.11).

Допуск переходной посадки /77^5 определяется по формуле

Рис. 5.10.

Перепишем формулу (5.16) таким образом: -(В - а). Выражение в скобках является зазором (5.9). Тогда можно записать ЛГ = -5, т. е. натяг есть отрицательный зазор. Минимальный отрицательный зазор является максимальным натягом, а минимальный отрицательный натяг - максимальным зазором, т. е. справедливы следующие соотношения:

С учетом (5.24) и (5.25) формулу (5.23) можно переписать следующим образом:

т. е. допуск посадки равен сумме полей допусков вала и отверстия, составляющих соединение.

Графическое изображение полей допусков в переходных посадках приведено на рис. 5.11.

Примеры определения предельных размеров, допусков, зазоров и натягов в соединениях при различных видах посадок

Посадка с зазором

Номинальный размер вала 100 мм, нижнее отклонение вала в--160 мкм (-0,106 мм), верхнее отклонение вала е$ - -60 мкм (-0,06 мм).

Номинальный размер отверстия 100 мм, нижнее отклонение отверстия £7= +72 мкм (+0,072 мм), верхнее отклонение отверстия £5_ +159 мкм (+0,159 мм). Графическое представление этой посадки приведено на рис. 5.12.

Рис. 5.11.

Рис. 5.12.

Рис. 5.13.

Допуск посадки (зазора)

Посадка с натягом

Пример. Номинальный размер вала 100 мм, нижнее отклонение вала е ~ 72 мкм (0,072 мм), верхнее отклонение вала е$~ 159 мкм (0,159 мм).

Номинальный размер отверстия 100 мм, нижнее отклонение отверстия

£7= -106 мкм (-0,106 мм), верхнее отклонение отверстия £5--60 мкм (-0,060 мм).

Графическое представление этой посадки приведено на рис. 5.13.

Решение. Наибольший предельный размер вала d^

dmax=d + es= 100+ (0,159) = 100,159 мм. Наименьший предельный размер вала dm.n

4™= d + "= I* + (0,072) = 100,072 мм. Поле допуска вала

Td = 4™, ~ 4*п= Ю0,159 - 100,072 = 0,087 мм

lTd = es- ei = 0,159 - 0,072 = 0,087 мм. Наибольший предельный размер отверстия

Omw = D + ES= 100 + (-0,060) = 99,940 мм. Наименьший предельный размер отверстия

Dmin= D+ Е1= 100 + (-0,106) = 99,894 мм.

Определим поле допуска отверстия

"™ = Ом" " Яя1а= 99,940 - 99,894 = 0,046 мм

• 1ТО = £5 - £/ = -0,060 - (-0,106) = 0,046 мм. Максимальный натяг в соединении
• 4™- 4™ = 100,159-99,894 = 0,265 мм

N"1= Е1= 0,159- (-0,106) =0,265 мм. Минимальный натяг в соединении

4ы"" А"* = Ю0.072 - 99,940 = 0,132 мм

^п"п = е" ~ £У= О"072 ~ (-0,060) = 0,132 мм. Допуск посадки (натяга)

ПИ = - Ыя.т = 0,265 - 0,132 = 0,133 мм

ГГЫ = т + 1Тй = 0,087 + 0,046 = 0,133 мм.

Переходная посадка

Пример. Номинальный размер вала 100 мм, нижнее отклонение вала а - +71 мкм (+0,071 мм), верхнее отклонение вала е$~ +93 мкм (+0,093 мм).

Номинальный размер отверстия 100 мм, нижнее отклонение отверстия £7= +72 мкм (+0,072 мм), верхнее отклонение отверстия £5_ +159 мкм (+0,159 мм). Графическое представление этой посадки приведено на рис. 5.14.

Решение. Наибольший предельный размер вала дтзх

4™, = ^ + Ю0 + 0,093 = 100,093 мм. Наименьший предельный размер вала ёт,"

Поле допуска вала

/Тс/ = с/^-с/^п = 100,093 - 100,071 = 0,022 мм

Рис. 5.14.

т = & - в! = 0,093 - 0,071 = 0,022 мм. Наибольший предельный размер отверстия

Ош = О + £5= 100 + 0,159 = 100,159 мм. Наименьший предельный размер отверстия

Ою.т= й + Е1= 100 + 0,072 = 100,072 мм. Поле допуска отверстия

/77) = Отая - йя1а = 100,159 - 100,072 = 0,087 мм

/77) = £5- £7 = 0,159 - 0,072 = 0,087 мм. Максимальный зазор в соединении

5"""= А™," 4-"= 100,159 - 100,071 =0,088 мм

= £5- е!= 0,159 - 0,071 = 0,088 мм. Максимальный натяг в соединении

4Ж- /)м(п = 100,093 - 100,072 = 0,021 мм

М*,*, = ез-ЕГ= 0,093 - 0,072 = 0,021 мм. Допуск посадки (зазора-натяга)

/77У5 = 5^ + 0,088 + 0,021 = 0,109 мм

/7Ж = т + /77) - 0,022 + 0,087 - 0,109 мм.

Природа сварочной дуги

Электрическая дуга представляет собой один из видов электрических разрядов в газах, при котором наблюдается прохождение электрического тока через газовый промежуток под воздействием электрического поля. Электрическую дугу, используемую для сварки металлов, называют сварочной дугой. Дуга является частью электрической сварочной цепи, и на ней происходит падение напряжения. При сварке на постоянном токе электрод, подсоединенный к положительному полюсу источника питания дуги, называют анодом, а к отрицательному - катодом. Если сварка ведется на переменном токе, каждый из электродов является попеременно то анодом, то катодом.

Промежуток между электродами называют областью дугового разряда или дуговым промежутком. Длину дугового промежутка называют длиной дуги. В обычных условиях при низких температурах газы состоят из нейтральных атомов и молекул и не обладают электрической проводимостью. Прохождение электрического тока через газ возможно только при наличии в нем заряженных частиц - электронов и ионов. Процесс образования заряженных частиц газа называют ионизацией, а сам газ - ионизованным. Возникновение заряженных частиц в дуговом промежутке обусловливается эмиссией (испусканием) электронов с поверхности отрицательного электрода (катода) и ионизацией находящихся в промежутке газов и паров. Дуга, горящая между электродом и объектом сварки, является дугой прямого действия. Такую дугу принято называть свободной дугой в отличие от сжатой, поперечное сечение которой принудительно уменьшено за счет сопла горелки, потока газа, электромагнитного поля. Возбуждение дуги происходит следующим образом. При коротком замыкании электрода и детали в местах касания их поверхности разогреваются. При размыкании электродов с нагретой поверхности катода происходит испускание электронов - электронная эмиссия. Выход электронов в первую очередь связывают с термическим эффектом (термоэлектронная эмиссия) и наличием у катода электрического поля высокой напряженности (автоэлектронная эмиссия). Наличие электронной эмиссии с поверхности катода является непременным условием существования дугового разряда.

По длине дугового промежутка дуга разделяется на три области (рис. 1): катодную, анодную и находящийся между ними столб дуги. Катодная область включает в себя нагретую поверхность катода, называемую катодным пятном, и часть дугового промежутка, примыкающую к ней.

Протяженность катодной области мала, но она характеризуется повышенной напряженностью и протекающими в ней процессами получения электронов, являющимися необходимым условием для существования дугового разряда. Температура катодного пятна для стальных электродов достигает 2400 - 2700°С. На нем выделяется до 38% общей теплоты дуги. Основным физическим процессом в этой области является электронная эмиссия и разгон электронов. Падение напряжения в катодной области UK составляет порядка 12 - 17 В.

Анодная область состоит из анодного пятна на поверхности анода и части дугового промежутка, примыкающего к нему. Ток в анодной области определяется потоком электронов, идущих из столба дуги. Анодное пятно является местом входа и нейтрализации свободных электронов в материале анода. Оно имеет примерно такую же температуру, как и катодное пятно, но в результате бомбардировки электронами на нем выделяется больше теплоты, чем на катоде. Анодная область также характеризуется повышенной напряженностью. Падение напряжения в ней Uк составляет порядка 2 - 11 В. Протяженность этой области также мала.

Столб дуги занимает наибольшую протяженность дугового промежутка, расположенную между катодной и анодной областями. Основным процессом образования заряженных частиц здесь является ионизация газа. Этот процесс происходит в результате соударения заряженных (в первую очередь электронов) и нейтральных частиц газа. При достаточной энергии соударения из частиц газа происходит выбивание электронов и образование положительных ионов. Такую ионизацию называют ионизацией соударением. Соударение может произойти и без ионизации, тогда энергия соударения выделяется в виде теплоты и идет на повышение температуры дугового столба. Образующиеся в столбе дуги заряженные частицы движутся к электродам: электроны - к аноду, ионы - к катоду. Часть положительных ионов достигает катодного пятна, другая же часть не достигает и, присоединяя к себе отрицательно заряженные электроны, становятся нейтральными атомами. Такой процесс нейтрализации частиц называют рекомбинацией. В столбе дуги при всех условиях горения ее наблюдается устойчивое равновесие между процессами ионизации и рекомбинации. В целом столб дуги не имеет заряда. Он нейтрален, так как в каждом сечении его одновременно находятся равные количества противоположно заряженных частиц. Температура столба дуги достигает 6000 - 8000°С и более. Падение напряжения в нем Uc изменяется практически линейно по длине, увеличиваясь с увеличением длины столба. Падение напряжения зависит от состава газовой среды и уменьшается с введением в нее легко ионизующихся компонентов. Такими компонентами являются щелочные и щелочно-земельные элементы (Са, Na, К и др.). Общее падение напряжения в дуге Uд = Uк + Uа + Uс. Принимая падение напряжения в столбе дуги в виде линейной зависимости, его можно представить формулой Uс = Еlс, где Е - напряженность по длине, lс - длина столба. Значения Uк, Uа, Е практически зависят лишь от материала электродов и состава среды дугового промежутка и при их неизменности остаются постоянными при разных условиях сварки. В связи с малой протяженностью катодной и анодной областей можно считать практически lс = lд. Тогда получается выражение Uд = a + blд показывающее, что напряжение дуги прямым образом зависит от ее длины, где а = Uк + Uа; b = Е.

Непременным условием получения качественного сварного соединения является устойчивое горение дуги (ее стабильность). Под этим понимают такой режим ее существования, при котором дуга длительное время горит при заданных значениях силы тока и напряжения, не прерываясь и не переходя в другие виды разрядов. При устойчивом горении сварочной дуги основные ее параметры- сила тока и напряжение- находятся в определенной взаимозависимости. Поэтому одной из основных характеристик дугового разряда является зависимость ее напряжения от силы тока при постоянной длине дуги. Графическое изображение этой зависимости при работе в статическом режиме (в состоянии устойчивого горения дуги)называют статической вольтамперной характеристики дуги (рис. 2).

С увеличением длины дуги ее напряжение возрастает и кривая статической вольтамперной характеристики поднимается выше, с уменьшением длины дуги опускается ниже, качественно сохраняя при этом свою форму. Кривую статической характеристики можно разделить на три области: падающую, жесткую и возрастающую. В первой области увеличение тока приводит к резкому падению напряжения дуги.

Это обусловлено тем, что с увеличением силы тока увеличиваются площадь сечения столба дуги и его электропроводность. Горение дуги на режимах в этой области отличается малой устойчивостью. Во второй области увеличение силы тока не связано с изменением напряжения дуга. Это объясняется тем, что площадь сечения столба дуги и активных пятен изменяется пропорционально силе тока, в связи с чем плотность тока и падение напряжения в дуге сохраняются постоянными.

Сварка дугой с жесткой статической характеристикой находит широкое применение в сварочной технологии, особенно при ручной сварке. В третьей области с увеличением силы тока напряжение возрастает. Это связано с тем, что диаметр катодного пятна становится равным диаметру электрода и увеличиваться далее не может, при этом в дуге возрастает плотность тока и падает напряжение. Дуга с возрастающей статической характеристикой широко используется при автоматической и механизированной сварке под флюсом и в защитных газах с применением тонкой сварочной проволоки. При механизированной сварке плавящимся электродом иногда применяют статическую вольтамперную характеристику дуги, снятую не при постоянной ее длине, а при постоянной скорости подачи электродной проволоки (рис. 3).

Как видно из рисунка, каждой скорости подачи электродной проволоки соответствует узкий диапазон токов с устойчивым горением дуга. Слишком малый сварочный ток может привести к короткому замыканию электрода с изделием, а слишком большой- к резкому возрастанию напряжения и ее обрыву.

Особенности дуги на переменном токе

При сварке на постоянном токе в установившемся режиме все процессы в дуге протекают с определенной скоростью и горение дуги отличается высокой стабильностью.

При питании дуга переменным током полярность электрода и изделия, а также условия существования дугового разряда периодически изменяются. Так, дуга переменного тока промышленной частоты 50 Гц погасает и вновь возбуждается 100 раз в секунду, или дважды за каждый период. Поэтому особо возникает вопрос об устойчивости горения дуги переменного тока. В первую очередь устойчивость горения такой дуги зависит от того, насколько легко происходит повторное возбуждение дуги в каждом полупериоде. Это определяется ходом физических и электрических процессов в дуговом промежутке и на электродах в отрезки времени между каждым погасанием и новым зажиганием дуги. Снижение тока сопровождается соответствующим уменьшением температуры в столбе дуги и степени ионизации дугового промежутка. При переходе тока через нуль и перемене полярности в начале и конце каждого полупериода дуга гаснет. Одновременно падает и температура активных пятен на аноде и катоде. Падение температуры несколько отстает по фазе при переходе тока через нуль, что связано с тепловой инерционностью процесса. Особенно интенсивно падает температура активного пятна, расположенного на поверхности сварочной ванны, в связи с интенсивным отводом теплоты в массу детали. В следующий за погасанием дуги момент меняется полярность напряжения на дуговом промежутке (рис. 4).

Одновременно изменяется и направление движения заряженных частиц в дуговом промежутке. В условиях пониженной температуры активных пятен и степени ионизации в дуговом промежутке повторное зажигание дуги в начале каждого полупериода происходит только при повышенном напряжении между электродами, именуемым пиком зажигания или напряжением повторного зажигания дуги. Пик зажигания всегда выше напряжения дуги, соответствующего стабильному режиму ее горения. При этом величина пика зажигания несколько выше в тех случаях, когда катодное пятно находится на основном металле. Величина пика зажигания существенно влияет на устойчивость горения дуги переменного тока. Деионизация и охлаждение дугового промежутка возрастают с увеличением длины дуги, что приводит к необходимости дополнительного повышения пика зажигания и влечет снижение устойчивости дуги. Поэтому затухание и обрыв дуги переменного тока при прочих равных условиях всегда происходят при меньшей ее длине, чем для постоянного тока. При наличии в дуговом промежутке паров легко-ионизующихся элементов пик зажигания уменьшается и устойчивость горения дуга переменного тока повышается.

С увеличением силы тока физические условия горения дуги улучшаются, что также приводит к снижению пика зажигания и повышению устойчивости дугового разряда. Таким образом, величина пика зажигания является важной характеристикой -дуги переменного тока и оказывает существенное влияние на ее устойчивость. Чем хуже условия для повторного возбуждения дуги, тем больше разница между пиком зажигания и напряжением дуги. Чем выше пик зажигания, тем выше должно быть напряжение холостого хода источника питания дуги током. При сварке на переменном токе неплавящимся электродом, когда материал его и изделия резко различаются по своим теплофизическим свойствам, проявляется выпрямляющее действие дуги. Это характеризуется протеканием в цепи переменного тока некоторой составляющей постоянного тока, сдвигающей в определенном направлении кривые напряжения и тока от горизонтальной оси (рис. 5). Наличие в сварочной цепи составляющей постоянного тока отрицательно сказывается на качестве сварного соединения и условиях процесса: уменьшается глубина проплавления, увеличивается напряжение дуги, значительно повышается температура электрода и увеличивается его расход. Поэтому приходится применять специальные меры для подавления действия постоянной составляющей.

При сварке плавящимся электродом, близким по составу к основному металлу, на режимах, обеспечивающих устойчивое горение дуги, выпрямляющее действие дуги незначительно и кривые тока и напряжения располагаются практически симметрично относительно оси абсцисс.

Технологические свойства дуги

Под технологическими свойствами сварочной дуги понимают совокупность ее теплового, механического и физико-химического воздействия на электроды, определяющие интенсивность плавления электрода, характер его переноса, проплавление основного металла, формирование и качество шва. К технологическим свойствам дуги относятся также ее пространственная устойчивость и эластичность. Технологические свойства дуги взаимосвязаны и определяются параметрами режима сварки.

Важными технологическими характеристиками дуги являются зажигание и стабильность горения дуги. Условия зажигания и горения дуги зависят от рода тока, полярности, химического состава электродов, межэлектродного промежутка и его длины. Для надежного обеспечения процесса зажигания дуй? необходимо подведение к электродам достаточного напряжения холостого хода источника питания дуги, но в то же время безопасного для работающего. Для сварочных источников напряжение холостого хода не превышает 80 В на переменном токе и 90 В на постоянном. Обычно напряжение зажигания дуги больше напряжения горения дуги на переменном токе в 1,2 - 2,5 раза, а на постоянном токе - в 1,2 - 1,4 раза. Дуга зажигается от нагрева электродов; возникающего при их соприкосновении. В момент отрыва электрода от изделия с нагретого катода происходит электронная эмиссия. Электронный ток ионизует газы и пары металла межэлектродного промежутка, и с этого момента в дуге появляются электронный и ионный токи. Время установления дугового разряда составляет 10-5 – 10-4 с. Поддержание непрерывного горения дуги будет осуществляться, если приток энергии в дугу компенсирует ее потери. Таким образом, условием для зажигания и устойчивого горения дуги является наличие специального источника питания электрическим током.

Вторым условием является наличие ионизации в дуговом промежутке. Степень протекания этого процесса зависит от химического состава электродов и газовой среды в дуговом промежутке. Степень ионизации выше при наличии в дуговом промежутке легкоионизующихся элементов. Горящая дуга может быть растянута до определенной длины, после чего она гаснет. Чем выше степень ионизации в дуговом промежутке, тем длиннее может быть дуга. Максимальная длина горящей без обрыва дуги характеризует важнейшее технологическое свойство ее - стабильность. Стабильность дуги зависит от целого ряда факторов: температуры катода, его эмиссионной способности, степени ионизации среды, длины дуги и др.

К технологическим характеристикам дуги относятся также пространственная устойчивость и эластичность. Под этим понимают способность сохранения дугой неизменности пространственного положения относительно электродов в режиме устойчивого горения и возможность отклонения и перемещения без затухания под воздействием внешних факторов. Такими факторами могут быть магнитные поля и ферромагнитные массы, с которыми дуга может взаимодействовать. При этом взаимодействии наблюдается отклонение дуги от естественного положения в пространстве. Отклонение столба дуги под действием магнитного поля, наблюдаемое в основном при сварке постоянным током, называют магнитным дутьем (рис. 6).

Возникновение его объясняется тем, что в местах изменения направления тока создаются напряженности магнитного поля. Дуга является своеобразной газовой вставкой между электродами и как любой проводник взаимодействует с магнитными полями. При этом столб сварочной дуги можно рассматривать в качестве гибкого проводника, который под воздействием магнитного поля может перемещаться, как любой проводник, деформироваться и удлиняться. Это приводит к отклонению дуги в сторону, противоположную большей напряженности. При сварке переменным током в связи с тем, что полярность меняется с частотой тока, это явление проявляется значительно слабее. Отклонение дуги также имеет место при сварке вблизи ферромагнитных масс (железо, сталь). Это объясняется тем, что магнитные силовые линии проходят через ферромагнитные массы, обладающие хорошей магнитной проницаемостью, значительно легче, чем через воздух. Дуга в этом случае отклонится в сторону таких масс.

Возникновение магнитного дутья вызывает непровары и ухудшение формирования швов. Устранить его можно за счет изменения места токоподвода к изделию или угла наклона электрода, временным размещением балластных ферромагнитных масс у сварного соединения, позволяющих выравнивать несимметричность магнитных полей, а также заменой постоянного тока переменным.

Понятие о сварке и ее сущность

Сложные конструкции, как правило, получают в результате объединения между собой отдельных элементов (деталей, агрегатов, узлов). Такие объединения могут выполняться с помощью разъемных или неразъемных соединений.

В соответствии с ГОСТ 2601-74 сварка определяется как процесс получения неразъемных соединений посредством установления межатомных связей между свариваемыми частями при их местном или общем нагреве или пластическом деформировании или совместным действием того и другого.

Неразъемные соединения, выполненные с помощью сварки, называют сварными соединениями. Чаще всего с помощью сварки соединяют детали из металлов. Однако сварные соединения применяют и для деталей из неметаллов - пластмасс, керамик или их сочетаний.

Для получения сварных соединений не требуется применения каких-либо специальных соединительных элементов (заклепок, накладок и т. п.). Образование неразъемного соединения в них обеспечивается за счет проявления действия внутренних сил системы. При этом происходит образование связей между атомами металла соединяемых деталей. Для сварных соединений характерно возникновение металлической связи, обусловленной взаимодействием ионов и обобществленных электронов.

Для получения сварного соединения совершенно недостаточно простого соприкосновения поверхностей соединяемых деталей. Межатомные связи могут установиться только тогда, когда соединяемые атомы получат некоторую дополнительную энергию, необходимую для преодоления существующего между ними определенного энергетического барьера. При этом атомы достигают состояния равновесия в. действии сил напряжения и отталкивания. Эту энергию называют энергией активации. При сварке ее вводят извне путем нагрева (термическая активация) или пластического деформирования (механическая активация).

Сближение свариваемых частей и приложение энергии активации - необходимые условия для образования неразъемных сварных соединений.

В зависимости от вида активации при выполнении соединений различают два вида сварки: плавлением и давлением. При сварке плавлением детали по соединяемым кромкам оплавляют под действием источника нагрева. Оплавленные поверхности кромок покрываются расплавленным металлом, который, сливаясь в общий объем, образует жидкую сварочную ванну. При охлаждении сварочной ванны жидкий металл затвердевает и образует сварной шов. Шов может быть образован или только за счет расплавления металла свариваемых кромок, или за счет их и дополнительного введения в сварочную ванну расплавляемой присадки.

Сущность сварки давлением состоит в непрерывном или прерывистом совместном пластическом деформировании материала по кромкам свариваемых деталей. Благодаря пластической деформации и течению металла облегчается установление межатомных связей соединяемых частей. Для ускорения процесса применяют сварку давлением с нагревом. В некоторых способах сварки давлением нагрев может производиться до оплавления металла свариваемых поверхностей.

Классификация видов сварки

В настоящее время различают более 150 видов сварочных процессов. ГОСТ 19521-74 устанавливает классификацию сварочных процессов по основным физическим, техническим и технологическим признакам.

Основой физических признаков классификации является форма энергии, используемой для получения сварного соединения. По физическим признакам все виды сварки относят к одному из трех классов: термическому, термомеханическому и механическому.

К термическому классу относят все виды сварки плавлением, осуществляемые с использованием тепловой энергии, - газовую, дуговую, электрошлаковую, электронно-лучевую, лазерную и др.

К термомеханическому классу относят все виды сварки, осуществляемые с использованием тепловой энергии и давления,- контактную, диффузионную, газо- и дугопрессовую, кузнечную и др.

К механическому классу относят все виды сварки давлением, осуществляемые с использованием механической энергии, - холодная, трением, ультразвуковая, взрывом и др.

К техническим признакам классификации сварочных процессов относят способы защиты металла в зоне сварки, непрерывность процесса и степень его механизации (рис. 7).

Технологические признаки классификации устанавливаются для каждого вида сварки отдельно. Например, вид дуговой сварки может быть классифицирован по следующим признакам: виду электрода, характеру защиты, уровню автоматизации и т. п.

Основные разновидности дуговой сварки

Источником нагрева при дуговых способах сварки является сварочная дуга, представляющая собой устойчивый электрический разряд, происходящий в газовой среде между двумя электродами или электродом и деталью. Для поддержания такого разряда нужной продолжительности необходимо применение специальных источников питания дуги (ИПД). Для питания дуги переменным током применяют сварочные трансформаторы, при постоянном токе- сварочные генераторы или сварочные выпрямители. На рис. 8 показана схема электрической цепи дуговой сварки.

Разработка дуговой сварки обусловлена открытием электрической дуги в 1802 г. русским физиком В.В. Петровым. Впервые для соединения металлических частей с помощью электрической дуги, горящей между неплавящимся угольным электродом и свариваемым изделием, было осуществлено Н.Н. Бенардосом в 1882 г. При необходимости в сварочную ванну дополнительно подавался присадочный материал. В 1888 г. русский инженер Н.Г. Славянов усовершенствовал процесс, заменив неплавящийся угольный электрод на плавящийся металлический. Тем самым было достигнуто объединение функций электрода для существования дугового разряда и присадочного металла для образования ванны. Предложенные Н.Н. Бенардосом и Н.Г. Славяновым способы дуговой сварки неплавящимся и плавящимся электродами легли в основу разработки наиболее распространенных современных способов дуговой сварки.

Дальнейшее совершенствование дуговой сварки шло по двум направлениям: 1) изыскание средств защиты и обработки расплавленного металла сварочной ванны; 2) автоматизация процесса. По характеру защиты свариваемого металла и сварочной ванны от окружающей среды могут быть выделены способы дуговой сварки с шлаковой, газошлаковой и газовой защитой. По степени автоматизации процесса способы разделяют на ручную, механизированную и автоматическую сварку. Ниже приводятся характеристики и описание основных разновидностей дуговой сварки.

Дуговая сварка покрытыми электродами (рис. 9). При этом способе процесс выполняется вручную. Сварочные электроды могут быть плавящиеся - стальные, медные, алюминиевые и др. - и неплавящиеся - угольные, графитовые, вольфрамовые.

Наиболее широко применяют сварку стальными электродами, имеющими на поверхности электродное покрытие. Покрытие электродов готовится из порошкообразной смеси различных компонентов и наносится на поверхность стального стержня в виде затвердевающей пасты. Его назначение - повысить устойчивость горения дуги, провести металлургическую обработку сварочной ванны, и улучшить качество сварки. Сварной шов образуют за счет расплавления металла свариваемых кромок и плавления стержня сварочного электрода. При этом сварщик вручную осуществляет два основных технологических движения: подачу покрытого электрода в зону сварки по мере его расплавления и перемещение дуги вдоль свариваемого шва. Ручная дуговая сварка покрытыми электродами - один из наиболее распространенных способов, используемых при изготовлении сварных конструкций. Она отличается простотой и универсальностью, возможностью выполнения соединений в различных пространственных положениях и труднодоступных местах. Существенный недостаток ее - малая производительность процесса и зависимость качества сварки от квалификации сварщика.

Дуговая сварка под флюсом (рис. 10). Электрическая дуга горит между плавящимся электродом и деталью под слоем сварочного флюса, полностью закрывающего дугу и сварочную ванну от взаимодействия с воздухом. Сварочный электрод выполнен в виде проволоки, свернутой в кассету и автоматически подаваемой в зону сварки. Перемещение дуги вдоль свариваемых кромок может выполняться или вручную, или с помощью специального привода. В первом случае процесс ведется с помощью сварочных полуавтоматов, во втором - сварочных автоматов. Дуговая сварка под флюсом отличается высокой производительностью и качеством получаемых соединений. К недостаткам процесса следует отнести трудность сварки деталей небольших толщин, коротких швов и выполнение швов в основных положениях, отличных от нижних. Подробную информацию о дуговой сварке под флюсом читайте в

Дуговая сварка в защитных газах (рис. 11). Электрическая дуга горит в среде специально подаваемых в зону сварки защитных газов. При этом можно использовать как неплавящийся, так и плавящийся электроды, а выполнять процесс ручным, механизированным или автоматическим способом. При сварке неплавящимся электродом применяют присадочную проволоку, при плавящемся электроде присадки не требуется. Сварка в защитных газах отличается широким разнообразием и применяется для широкого круга металлов и сплавов.

Электрошлаковая сварка (рис. 12). Процесс сварки является бездуговым. В отличие от дуговой сварки для расплавления основного и присадочного металлов используется теплота, выделяющаяся при прохождении сварочного тока через расплавленный электропроводный шлак (флюс). После затвердевания расплава образуется сварной шов. Сварку выполняют чаще всего при вертикальном положении свариваемых деталей с зазором между ними. Для формирования шва по обе стороны зазора устанавливают медные ползуны-кристаллизаторы, охлаждаемые водой. Электрошлаковую сварку применяют для соединения деталей больших толщин (от 20 до 1000 мм и более).

Сварные соединения и швы

Согласно ГОСТ 2601-84 устанавливается ряд терминов и определений связанных со сварными соединениями и швами.

Сварное соединение - это неразъемное соединение нескольких деталей, выполненное сваркой. Конструктивный тип сварного соединения определяется взаиморасположением свариваемых частей. При сварке плавлением различают следующие типы сварных соединений: стыковое, угловое, тавровое, нахлесточное и торцовое. Применяется также соединение нахлесточное с точечным сварным швом, выполненное дуговой сваркой.

Металлическую конструкцию, изготовленную сваркой из отдельных деталей, называют сварной конструкцией. Часть такой конструкции называют сварным узлом.

Стыковое соединение представляет собой сварное соединение двух деталей, расположенных в одной плоскости и примыкающих друг к другу торцовыми поверхностями (рис. 13, а). Оно наиболее распространено в сварных конструкциях, поскольку имеет ряд преимуществ перед другими видами соединений. Условные обозначения стыковых соединений: С1 - С48.

Угловое соединение представляет собой сварное соединение двух элементов, расположенных под углом друг к другу и сваренных в месте приложения их кромок (рис.13, б). Условные обозначения угловых соединений: У1 - У10.

Тавровое соединение - это соединение, в котором к боковой поверхности одного элемента примыкает под углом и приварен торцом другой элемент. Как правило, угол между элементами прямой (рис. 13, в). Условные обозначения тавровых соединений: Т1 - Т8.

Нахлесточное соединение представляет собой сварное соединение, в котором соединяемые элементы расположены параллельно и частично перекрывают друг друга (рис. 13, г). Условные обозначения: H1 - Н9.

Торцовое соединение - это соединение, в котором боковые поверхности элементов примыкают друг к другу (рис. 13, д). Условных обозначений в стандарте пока нет.

Сварной шов представляет собой участок сварного соединения, образовавшийся в результате кристаллизации расплавленного металла сварочной ванны.

Сварочная ванна - это часть металла сварного шва, находящаяся в момент сварки в расплавленном состоянии. Углубление, образующееся в сварочной ванне под действием дуги, называют кратером. Металл соединяемых частей, подвергающихся сварке, называют основным металлом. Металл, предназначенный для введения в сварочную ванну в дополнение к расплавленному основному, называют присадочным металлом. Переплавленный присадочный металл, введенный в сварочную ванну или наплавленный на основной металл, называют наплавленным металлом. Сплав, образованный переплавленным основным или переплавленным основным и наплавленным металлами, называют металлом шва. В зависимости от параметров и формы подготовки свариваемых кромок деталей доли участия основного и наплавленного металлов в формировании шва могут существенно изменяться (рис. 14):

В зависимости от доли участия основного и присадочного металлов в формировании шва его состав может изменяться. Торцовые поверхности деталей, подлежащие нагреву и расплавлению при сварке, называют свариваемыми кромками. Для обеспечения равномерного проплавления свариваемых кромок в зависимости от толщины основного металла и способа сварки им придают наиболее оптимальную форму, выполняя предварительно подготовку кромок. На рис. 15 приведены применяемые формы подготовки кромок для различных типов сварных соединений. Основными параметрами формы подготовленных кромок и собранных под сварку соединений являются е, R, b, a, с - высота отбортовки, радиус закруглений, зазор, угол скоса, притупление кромок.

Отбортовку кромок применяют при сварке тонкостенных деталей. Для толстостенных деталей применяют разделку кромок за счет их скоса, т.е. выполнение прямолинейного или криволинейного наклонного скоса кромки, подлежащей сварке. Нескошенная часть кромки с носит название притупления кромки, а расстояние b между кромками при сборке - зазором. Острый угол b между плоскостью скоса кромки и плоскостью торца называют углом скоса кромки, угол a между скошенными кромками - углом разделки кромок.

Значения параметров формы подготовки кромок и их сборки регламентируются ГОСТ 5264-80. В зависимости от типов сварных соединений различают стыковые и угловые сварные швы. Первый вид швов используется при получении стыковых сварных соединений. Второй вид швов используется в угловых, тавровых и нахлесточных соединениях.

К атегория:

Разметка

Основные понятия о зазорах и натягах

В любом механизме, как бы он ни был сложен, всегда можно выделить элементарные соединения, представляющие собой пару сопряженных поверхностей. Эти поверхности деталей, составляющих узлы и агрегаты, должны занимать относительно друг друга то или иное положение, которое позволит им либо совершать относительные перемещения, либо сохранять полную неподвижность при определенной прочности соединения. При сборке двух деталей, входящих одна в другую, различают внешнюю (охватывающую) и внутреннюю (охватываемую) поверхности. Один из размеров соприкасающихся поверхностей называется охватывающим размером, а другой - охватываемым (рис. 1, а).

Рис. 1. Типы поверхностей деталей (а); зазоры в сопряжении отверстия с валом (

Для круглых тел охватывающая поверхность носиг общее наименование отверстия, а охватываемая - вала. Соответствующие им размеры называют диаметром отверстия и диаметром вала.

Если поверхности образованы двумя параллельными плоскостями каждая, то соединение называется плоским с параллельными плоскостями. Характер сопряжения двух поверхностей называется посадкой. Посадка характеризует большую или меньшую свободу относительного перемещения соединяемых деталей или степень сопротивления их взаимному смещению. Посадки могут быть с зазором или с натягом.

Зазором называется положительная разность между размерами отверстия и вала (размер отверстия больше размера вала).

Наибольшим зазором называется разность между наибольшим предельным размером отверстия и наименьшим предельным размером вала (рис. 1,б).

Наименьшим зазором называется разность между наименьшим предельным размером отверстия и наибольшим предельным размером вала.

Рассмотрим это на примере. Пусть размер вала равен 30 Годм, а размер отверстия 30+0’027. Тогда наибольший предельный размер вала будет равен 30-0,02 = = 29,98, а наименьший -30-0,04 = 29,96 мм. Допуск в данном случае определится следующим образом: 29,98-29,96 = 0,02 мм. Наибольший предельный размер отверстия равен 30 + 0,027 = 30,027 мм, наименьший предельный размер равен 30 мм, а допуск 30,027-30,00 = = 0,027 мм. В этом соединении диаметр вала меньше диаметра отверстия и, следовательно, между отверстием и валом есть зазор. Наибольший зазор: 30,027-29,96 = = 0,067 мм. Наименьший зазор: 30-29,98=0,02 мм.

Натягом называется отрицательная разность между диаметром отверстия и диаметром вала до сборки деталей, создающая после сборки неподвижное соединение (размер отверстия больше размера вала).

Наибольшим натягом называется разность между наибольшим предельным размером вала и наименьшим предельным размером отверстия (рис. 20,б).

Наименьшим натягом называется разность между наименьшим предельным размером вала и наибольшим предельным размером отверстия. Например, диаметр вала: 35+o!o5i диаметр отверстия: 35+0’0‘7.Тогда наибольший предельный размер вала будет 35,10 и наименьший-35,05 мм. Допуск 35,10-35,05 = 0,05 мм. Соответственно наибольший предельный размер отверстия равен 35,027 мм, наименьший - 35 мм. Допуск 35,027- 35 = 0,027 мм. В этом соединении размер вала больше

размера отверстия, и, следовательно, существует натяг. Наибольший натяг равен 35,10-35 = 0,10 мм; наименьший: 35,05-35,027 = 0,023 мм.

Следовательно, степень прочности или подвижности соединения зависит от величины натяга или зазора, т. е. от характера соединения деталей или их посадки.

Множество действительных чисел. Модуль действительного числа и его свойства.

Определение 1. Множеством действительных чисел называется совокупность всех рациональных и иррациональных чисел: .

Определение 2. Действительным числом называется любая бесконечная периодическая или непериодическая дробь.

Действительные числа изображаются точками на числовой прямой и заполняют всю прямую без "дыр". Множество непрерывно.

Свойство непрерывности R. Пусть – произвольные множества из и и выполняется . Тогда и выполняется .

1. Модуль действительного числа и его свойства

Определение. Модулем действительного числа а называется неотрицательное число, обозначаемое |а |, определяемое формулой:

Геометрический смысл модуля : | | –расстояние от точки 0 до точки а на числовой оси.

Из определения модуля вытекают его свойства.

Cвойства модуля:

2 . -|а| а |а|.

3 . b 0 неравенство |х| b равносильно -b х b (при b<0 неравенство |х| bне верно ни при каком х).

4 . b 0 |х|³bÛ (если b<0, то неравенство верно для любого х).

5 . (Неравенство треугольника) |а+b| |а|+|b|

6 . |а-b| |а|+|b|

7 . |а-b|³|а|-|b|

8 .|а+b|³|а|-|b|

9 .

10 .

.

12 . 1)

2)

2. Числовое множество. Примеры числовых множеств. Окрестности. Ограниченные и неограниченные числовые множества. Верхняя и нижняя грани числового множества. Достаточное условие существования верхней (нижней) грани множества.

Определение.

Числовое множество – множество, элементами которого являются действительные числа.

Примеры числовых множеств.

1) Отрезок (сегмент, замкнутый промежуток) .

2) Интервал (открытый промежуток) .

3) Полуинтервалы

1)-3) называются промежутками и обозначаются .

4) Бесконечные промежутки:

, ,

,

вся числовая прямая.

4. Окрестность точки

Пусть .

Определение 1. Окрестностью точки а называется произвольный интервал, содержащий точку а . Обозначается V(a ).

Определение 2. - окрестностью точкиа называется интервал с центром в точке а ирадиусом . Обозначается V(a ;e ).

V(a ;e )=(a-e;a+e ) или V(a ;e )= , V(a ;e )= .

У каждой точки существует бесконечно много - окрестностей.

Определение 3. Проколотой - окрестностью точки а называется

- окрестность без точки а . Обозначается

.

= .

Определение 4.

– -окрестность точки + ,

– -окрестность точки - ,

- -окрестность точки .

Определение 5. Односторонние окрестности точки а:

–левая проколотая - окрестностьточкиа ,

– праваяпроколотая - окрестностьточки а.

В дальнейшем будем рассматривать только - окрестности. Будем называть их просто окрестностями.

Ограниченные и неограниченные множества. Верхние и нижние грани числовых множеств

ПустьЕ – произвольное числовое множество, .

Определение 1. Число называется наименьшим (наибольшим) элементом множестваЕ , если выполняется . Если Е имеет наибольший (наименьший) элемент, то он принадлежит множеству .

Определение 2. МножествоЕ называется ограниченным сверху, если выполнено .

Определение 3. Число b называется верхней границей множества Е , если .

Очевидно, что если b – верхняя граница множестваЕ , то любое число, большее b , также будет верхней границей множества Е. Таким образом, ограниченное сверху множество имеет множество верхних границ.

Пример 1. ограничено сверху. Одна из верхних границ – число 3. И любое число большее, чем 3 является верхней границей. Например, выполнено .

Определение 4. МножествоЕ называется ограниченным снизу, если выполнено .

Определение 4.1. Число а называется нижней границей множества Е, если .

Определение 5. МножествоЕнеограниченно сверху, если .

Определение 6. Множество Енеограниченно снизу, если : .

Определение 7. МножествоЕ называется ограниченным, если оно ограничено и сверху, и снизу, то есть выполнено .

Определение 7 . МножествоЕ называется ограниченным, если выполнено .

Замечание. Определения 7 и 7 эквивалентны (равны).

8. Множество называется неограниченным, если : .

Определение 9. Верхней гранью множестваЕ (или точной верхней границей множества Е ) называется наименьшая из всех верхних границ множества Е. Обозначается (супремум) или .

Определение 9 . 1) выполнено ,

Условие 2) можно заменить: .

Определение 10. Нижней гранью множества Е (или точной нижней границей множества Е ) называется наибольшая из всех нижних границ множества Е.

Обозначается m =infE (инфимум) или .

infE может как принадлежать так и не принадлежатьмножеству E .

Определение 10 . 1) выполнено ,

Условие 2) можно заменить: .

Условие 1) означает, что число m является нижней границей.

Условие 2) означает, что число m является наибольшей из нижних границ (то есть её нельзя увеличить).

Теорема. Всякое ограниченное сверху непустое множество имеет верхнюю грань. Всякое ограниченное снизу непустое множество имеет нижнюю грань.

Определение 11. Если множествоЕ не ограничено сверху, то . Если множество Е не ограничено снизу, то

3. Понятие числовой последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Возрастающие, убывающие, невозрастающие, неубывающие последовательности.

Определение 1. Если каждому натуральному числу n по некоторому правилу поставить в соответствие некоторое число x n , то говорят, что определена числовая последовательность Её обозначают: или .

Определение 2. ограниченнойсверху(снизу) , если выполняется .

Определение 3. Последовательность называется неограниченной сверху (снизу) , если >k (

Определение 4. Последовательность называется ограниченной , если выполнено .

Определение 5. Последовательность называется неограниченной , если : .

Определение 6. Последовательность называется возрастающей (убывающей) , если выполнено ().

Определение 7. Последовательность называется невозрастающей (неубывающей) , если выполнено ().

Определение 8. Возрастающие и убывающие последовательности называются монотонными последовательностями.

4. Предел числовой последовательности, его геометрический смысл. Стационарная последовательность и ее предел. Единственность предела последовательности.

Пусть дана последовательность : (1)

Определение 1. Числоа называется пределом последовательности , если выполнено . (2)

Обозначается: или или .

Если последовательность имеет предел а , то она называется сходящейся ка .

Если последовательность не имеет предела, то она называется расходящейся .

Определение 2. Последовательность называется сходящейся, если выполнено .

Геометрический смысл предела последовательности

Числоа является пределом последовательности , если в любой e – окрестности точки а находятся все члены последовательности, начиная с некоторого (не принадлежит этой окрестности лишь конечное число членов).

Стационарная последовательность - пос-ть, у которой все ее члены равны одному и тому же числу. ЕЕ предел равен этому числу.

Теорема 1. Любая сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство.

(От противного)Пусть последовательность , которая имеет 2 предела: Тогда по определению предела

, .

Обозначим . Тогда выполнено и . Тогда .

Получили, что положительное фиксированное число меньше любого положительного числа (его можно брать сколь угодно малым), следовательноb-а =0 и значит, а=b .

5.Необходимое условие сходимости последовательности. Теорема о связях между последовательностями и их пределами (предельный переход в неравенствах, теорема о пределе промежуточной последовательности).

Теорема 2. (Необходимое условие сходимости) Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

выполнено .

Доказательство.

Пусть сходящаяся последовательность, то есть выполнено .

.

Значит, выполнено .

Обозначим М = . Тогда "n выполнено , то есть (по определению) последовательность ограничена.

Теорема 4. (предельный переход в неравенствах) Если , и "n>N выполняется , то .

Отметим , что из строгого неравенства не следует строгое, а следует нестрогое : .

Теорема 5. (О пределе промежуточной последовательности)

Пусть , , – последовательности, удовлетворяющие условию

"n>N 0 . (1)

Если , то .

6. Понятие бесконечно малой последовательности, геометрический смысл. Свойства бесконечно малой последовательности.

Определение 1. Последовательность называется бесконечно малой (БМП), если .

Это означает, что выполнено .

Геометрический смысл . Геометрически это означает, что в любой (сколь угодно малой) окрестности нуля находятся все члены последовательности , начиная с некоторого номера .

Теорема 1. Сумма любого конечного числа БМП есть БМП.

Теорема 2. Произведение БМП на ограниченную последовательность есть БМП.

Из теоремы 1 и 2 вытекают следствия.

Следствие 1. Если БМП, , то – БМП.

Следствие 2. Разность двух БМП есть БМП.

Следствие 3. Произведение двух БМП есть БМП.

Следствие 4. Произведение БМП и сходящейся последовательности есть БМП.

Замечание 1. Случай произведения 2-х БМП последовательностей можно обобщить для любого конечного числа БМП.

Замечание 2. Для частного двух БМП аналогичное утверждение не верно, то есть если , – БМП, то может и не быть БМП.

Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности (через бесконечно малую последовательность).

Теорема 3. (Необходимое и достаточное условие сходимости последовательности) , где – БМП, то есть .

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть . Рассмотрим последовательность .

По определению предела выполнено .

Следовательно, для последовательности имеем: выполнено . Значит, - БМП Þ , где - БМП.

2) Достаточность.

Пусть , где .

По определению предела выполнено . Так как

, то "n>N Þ .

8. Понятие бесконечно большой последовательности. Связь между бесконечно малой и бесконечно большой последовательностями.

Определение 1. Последовательность называется бесконечно большой , если выполняется .

Для обозначения ББП используется запись .

Теорема 1 . 1) Если – ББП, причем то – БМП;

2) если – БМП и то – ББП.

9.Теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного сходящихся последовательностей. . Неопределенности вида , , , . Примеры.

1. Частное . 1) , .

2) , .

3) , .

4) , (аналогично).

Отношение двух БМП . Это отношение может иметь предел (конечный или бесконечный), а может и не иметь предела в зависимости от конкретного способа задания последовательностей и . Поэтому отношение двух БМП называется неопределенностью вида .

Если предел отношения найден или доказано, что он не существует, то говорят, что неопределенность раскрыта .

– отношение двух ББП – неопределенность вида .

2. Сумма .

1) , ,

2) , ,

3) , – неопределенность вида .

3. Произведение .

1) , ,

2) , ,

3) , – неопределенность вида .

1.

2. , где a >0.

3. .

10. Понятие невозрастающей и неубывающей последовательности. Верхняя и нижняя грани последовательности. Теорема о пределе монотонной последовательности.

Определение 1. Верхней гранью последовательности называется верхняя грань множества значений элементов этой последовательности.

Обозначается.

Если множество значений элементов последовательности ограничено сверху, то есть число: Если множество значений неограниченно сверху, то .

Определение 2. Нижней гранью последовательности называется нижняя грань множества значений этой последовательности.

Обозначается infx n .

Если множество значений элементов последовательности ограничено снизу, то . Если множество значений не ограничено снизу, то

Теорема 1. 1) Любая неубывающая, ограниченная сверху последовательность имеет конечный предел.

2) Любая невозрастающая, ограниченная снизу последовательность имеет конечный предел.

Доказательство.

1) - ограниченная сверху .

Докажем, что .

Выберем . Тогда по определению 1" для этого e выполняется два условия:

Так как - неубывающая, то .

Следовательно, выполнены условия 1) и 2), значит, выполнено . Т. е. Þ .

Итак, : выполняется .

Заметим, что из условия 1) следует, что .

2) Доказывается аналогично.

Устанавливается, что и, следовательно, .

11 .Определение предела функции по Гейне и по Коши, их эквивалентность. Геометрический смысл предела функции.

Определение 1(по Гейне). ЧислоА называется пределом функции f(x) в точке а (или при х ®а) , если для любой последовательности (х n ) точек из , сходящейся к а , соответствующая последовательность значений функции (f (x n )) сходится к числу А .

Обозначается или .

Таким образом, , выполнено (f (x n )) A . Второе определение предела функции (по Коши). 2. ЧислоА называется пределом функции f в точке а , если >0 >0: : 0< < выполнено .

Это определение называют определением предела “на языке ”.

Так как неравенство 0< < означает, что , а неравенство - что , то получаем определение “на языке окрестностей”.

Теорема. Определения предела по Гейне и по Коши эквивалентны.

Итак, геометрический смысл предела функции состоит в следующем. ЧислоА является пределом функции f в точке а , если для любой, сколь угодно малой, e - окрестности точки А найдется d - окрестность точки а , такая что для всех х соответствующие значения функции .

12. Односторонние пределы функции в точке. Необходимое и достаточное условие существования предела функции в точке (через односторонние пределы).

Односторонние пределы

Рассмотрим понятие предела функции при стремлении к точке справа или слева. При этом заменяется на или на .

Обозначим через левую окрестность точки а , – правую окрестность точки а .

Определение 1. (по Гейне) Число A называется левым (правым ) пределомфункцииf (x ) в точкеa , если , соответствующая последовательность значений функции (f (x n )) сходится к A .Определение 2. (по Коши) ЧислоА называется левым (правым ) пределом функции f (x ) в точкеа , если : : a-d (a)выполняется неравенство .

Обозначается – левый предел, – правый предел.

Определение 1 и определение 2 эквивалентны.Правый и левый предел функции в точке называются односторонними пределами в точке .

Теорема. Для того, чтобы функция f имела предел в точке a необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали равные между собой односторонние пределы. При этом общее значение односторонних пределов равно пределу функции в точке а :

Доказательство.

1) Необходимость.

И . Это следует из определения предела и определения односторонних пределов.

2)Достаточность.

Пусть существуют односторонние пределы, равные А . Возьмем . Тогда согласно определению 2

: : выполняется ,

: : выполняется .

Выберем : : выполняется .

выполняется определение предела в точке а.

13.Теорема о единственности предела функции. Теорема об ограниченности функции, имеющей предел в точке.

Теорема 1. (Единственность предела). Любая функция в точке может иметь только один предел.

Доказательство.

Пусть , и .

Возьмем (x n ): x n a . Рассмотрим (f (x n )). По определению предела функции по Гейне и . Но по теореме о единственности предела последовательности отсюда следует, чтоА=В .

Полученное противоречие доказывает теорему.

Теорема 2. Если , то ограничена в некоторой проколотой окрестности точки а .

14. Теоремы о предельном переходе в неравенствах. Теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного функции.

Теорема 4. Пусть 1) ;

2) .

Тогда .

Теорема 5. Пусть , иА <B (A >B ).

Тогда : : выполняется ().

Теорема 6. Если и А <B (A >B ), то : : выполняется ().

Теорема 7. (Предельный переход в неравенствах)

Пусть , и : : выполняется ). Тогда .

Теоремы, связанные с арифметическими операциями над пределами

Теорема 8. Пусть и определены в некоторой проколотой окрестности точки а и , . Тогда в точкеа существуют пределы суммы, разности, произведения и частного (при условии, что и в ), причем

,

,

при и в .

Доказательство.

Докажем для суммы, остальное – аналогично.

Возьмём : . Так как и , то по определению предела функции по Гейне , . По теореме о пределе суммы последовательностей последовательность также имеет предел, причем .

Получили, что : последовательность сходится к числу А+В () .

15. Виды неопределенностей. Примеры. Теорема о пределе сложной функции.

Бесконечные пределы и неопределенности

(дополнения к теореме 8 §6)

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,